Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opcon3b Unicode version

Theorem opcon3b 29459
Description: Contraposition law for orthoposets. (chcon3i 22047 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
opoccl.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
opoccl.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
opcon3b  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  =  Y  <-> 
(  ._|_  `  Y )  =  (  ._|_  `  X
) ) )

Proof of Theorem opcon3b
StepHypRef Expression
1 fveq2 5527 . . 3  |-  ( Y  =  X  ->  (  ._|_  `  Y )  =  (  ._|_  `  X ) )
21eqcoms 2288 . 2  |-  ( X  =  Y  ->  (  ._|_  `  Y )  =  (  ._|_  `  X ) )
3 fveq2 5527 . . . 4  |-  ( ( 
._|_  `  X )  =  (  ._|_  `  Y )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )
43eqcoms 2288 . . 3  |-  ( ( 
._|_  `  Y )  =  (  ._|_  `  X )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )
5 opoccl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
6 opoccl.o . . . . . 6  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
75, 6opococ 29458 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )
873adant3 975 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )
95, 6opococ 29458 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
1093adant2 974 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
118, 10eqeq12d 2299 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  <-> 
X  =  Y ) )
124, 11syl5ib 210 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  Y
)  =  (  ._|_  `  X )  ->  X  =  Y ) )
132, 12impbid2 195 1  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  =  Y  <-> 
(  ._|_  `  Y )  =  (  ._|_  `  X
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686   ` cfv 5257   Basecbs 13150   occoc 13218   OPcops 29435
This theorem is referenced by:  opcon2b  29460  omllaw4  29509  cmtbr2N  29516  cvrcmp2  29547  lhpmod2i2  30300  lhpmod6i1  30301
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-nul 4151
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-iota 5221  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oposet 29439
  Copyright terms: Public domain W3C validator