Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opcon3b Unicode version

Theorem opcon3b 29455
Description: Contraposition law for orthoposets. (chcon3i 22159 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
opoccl.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
opoccl.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
opcon3b  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  =  Y  <-> 
(  ._|_  `  Y )  =  (  ._|_  `  X
) ) )

Proof of Theorem opcon3b
StepHypRef Expression
1 fveq2 5608 . . 3  |-  ( Y  =  X  ->  (  ._|_  `  Y )  =  (  ._|_  `  X ) )
21eqcoms 2361 . 2  |-  ( X  =  Y  ->  (  ._|_  `  Y )  =  (  ._|_  `  X ) )
3 fveq2 5608 . . . 4  |-  ( ( 
._|_  `  X )  =  (  ._|_  `  Y )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )
43eqcoms 2361 . . 3  |-  ( ( 
._|_  `  Y )  =  (  ._|_  `  X )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )
5 opoccl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
6 opoccl.o . . . . . 6  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
75, 6opococ 29454 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )
873adant3 975 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  X )
95, 6opococ 29454 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
1093adant2 974 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
118, 10eqeq12d 2372 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  <-> 
X  =  Y ) )
124, 11syl5ib 210 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  Y
)  =  (  ._|_  `  X )  ->  X  =  Y ) )
132, 12impbid2 195 1  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  =  Y  <-> 
(  ._|_  `  Y )  =  (  ._|_  `  X
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   ` cfv 5337   Basecbs 13245   occoc 13313   OPcops 29431
This theorem is referenced by:  opcon2b  29456  omllaw4  29505  cmtbr2N  29512  cvrcmp2  29543  lhpmod2i2  30296  lhpmod6i1  30297
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-nul 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-iota 5301  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oposet 29435
  Copyright terms: Public domain W3C validator