Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ondomon Unicode version

Theorem ondomon 8067
 Description: The collection of ordinal numbers dominated by a set is an ordinal number. (In general, not all collections of ordinal numbers are ordinal.) Theorem 56 of [Suppes] p. 227. This theorem can be proved (with a longer proof) without the Axiom of Choice; see hartogs 7143. (Contributed by NM, 7-Nov-2003.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ondomon
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem ondomon
StepHypRef Expression
1 onelon 4310 . . . . . . . . . . . 12
2 vex 2730 . . . . . . . . . . . . 13
3 onelss 4327 . . . . . . . . . . . . . 14
43imp 420 . . . . . . . . . . . . 13
5 ssdomg 6793 . . . . . . . . . . . . 13
62, 4, 5mpsyl 61 . . . . . . . . . . . 12
71, 6jca 520 . . . . . . . . . . 11
8 domtr 6799 . . . . . . . . . . . . 13
98anim2i 555 . . . . . . . . . . . 12
109anassrs 632 . . . . . . . . . . 11
117, 10sylan 459 . . . . . . . . . 10
1211exp31 590 . . . . . . . . 9
1312com12 29 . . . . . . . 8
1413imp3a 422 . . . . . . 7
15 breq1 3923 . . . . . . . 8
1615elrab 2860 . . . . . . 7
17 breq1 3923 . . . . . . . 8
1817elrab 2860 . . . . . . 7
1914, 16, 183imtr4g 263 . . . . . 6
2019imp 420 . . . . 5
2120gen2 1541 . . . 4
22 dftr2 4012 . . . 4
2321, 22mpbir 202 . . 3
24 ssrab2 3179 . . 3
25 ordon 4465 . . 3
26 trssord 4302 . . 3
2723, 24, 25, 26mp3an 1282 . 2
28 elex 2735 . . . . . 6
29 canth2g 6900 . . . . . . . . 9
30 domsdomtr 6881 . . . . . . . . 9
3129, 30sylan2 462 . . . . . . . 8
3231expcom 426 . . . . . . 7
3332ralrimivw 2589 . . . . . 6
3428, 33syl 17 . . . . 5
35 ss2rab 3170 . . . . 5
3634, 35sylibr 205 . . . 4
37 pwexg 4088 . . . . . 6
38 numth3 7981 . . . . . 6
39 cardval2 7508 . . . . . 6
4037, 38, 393syl 20 . . . . 5
41 fvex 5391 . . . . 5
4240, 41syl6eqelr 2342 . . . 4
43 ssexg 4057 . . . 4
4436, 42, 43syl2anc 645 . . 3
45 elong 4293 . . 3
4644, 45syl 17 . 2
4727, 46mpbiri 226 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   wa 360  wal 1532   wceq 1619   wcel 1621  wral 2509  crab 2512  cvv 2727   wss 3078  cpw 3530   class class class wbr 3920   wtr 4010   word 4284  con0 4285   cdm 4580  cfv 4592   cdom 6747   csdm 6748  ccrd 7452 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-ac2 7973 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-suc 4291  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-card 7456  df-ac 7627
 Copyright terms: Public domain W3C validator