Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omopthi Unicode version

Theorem omopthi 6541
 Description: An ordered pair theorem for . Theorem 17.3 of [Quine] p. 124. This proof is adapted from nn0opthi 11163. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
omopth.1
omopth.2
omopth.3
omopth.4
Assertion
Ref Expression
omopthi

Proof of Theorem omopthi
StepHypRef Expression
1 omopth.1 . . . . . . . . . . . . 13
2 omopth.2 . . . . . . . . . . . . 13
31, 2nnacli 6498 . . . . . . . . . . . 12
43nnoni 4554 . . . . . . . . . . 11
54onordi 4388 . . . . . . . . . 10
6 omopth.3 . . . . . . . . . . . . 13
7 omopth.4 . . . . . . . . . . . . 13
86, 7nnacli 6498 . . . . . . . . . . . 12
98nnoni 4554 . . . . . . . . . . 11
109onordi 4388 . . . . . . . . . 10
11 ordtri3 4321 . . . . . . . . . 10
125, 10, 11mp2an 656 . . . . . . . . 9
1312con2bii 324 . . . . . . . 8
141, 2, 8, 7omopthlem2 6540 . . . . . . . . . 10
15 eqcom 2255 . . . . . . . . . 10
1614, 15sylnib 297 . . . . . . . . 9
176, 7, 3, 2omopthlem2 6540 . . . . . . . . 9
1816, 17jaoi 370 . . . . . . . 8
1913, 18sylbir 206 . . . . . . 7
2019con4i 124 . . . . . 6
21 id 21 . . . . . . . . 9
2220, 20oveq12d 5728 . . . . . . . . . 10
2322oveq1d 5725 . . . . . . . . 9
2421, 23eqtr4d 2288 . . . . . . . 8
253, 3nnmcli 6499 . . . . . . . . 9
26 nnacan 6512 . . . . . . . . 9
2725, 2, 7, 26mp3an 1282 . . . . . . . 8
2824, 27sylib 190 . . . . . . 7
2928oveq2d 5726 . . . . . 6
3020, 29eqtr4d 2288 . . . . 5
31 nnacom 6501 . . . . . 6
322, 1, 31mp2an 656 . . . . 5
33 nnacom 6501 . . . . . 6
342, 6, 33mp2an 656 . . . . 5
3530, 32, 343eqtr4g 2310 . . . 4
36 nnacan 6512 . . . . 5
372, 1, 6, 36mp3an 1282 . . . 4
3835, 37sylib 190 . . 3
3938, 28jca 520 . 2
40 oveq12 5719 . . . 4
4140, 40oveq12d 5728 . . 3
42 simpr 449 . . 3
4341, 42oveq12d 5728 . 2
4439, 43impbii 182 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 5   wb 178   wo 359   wa 360   wceq 1619   wcel 1621   word 4284  com 4547  (class class class)co 5710   coa 6362   comu 6363 This theorem is referenced by:  omopth  6542 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-omul 6370
 Copyright terms: Public domain W3C validator