MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oe0m0 Unicode version

Theorem oe0m0 6405
Description: Ordinal exponentiation with zero mantissa and zero exponent. Proposition 8.31 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oe0m0  |-  ( (/)  ^o  (/) )  =  1o

Proof of Theorem oe0m0
StepHypRef Expression
1 0elon 4338 . 2  |-  (/)  e.  On
2 oe0m 6403 . . 3  |-  ( (/)  e.  On  ->  ( (/)  ^o  (/) )  =  ( 1o  \  (/) ) )
3 dif0 3430 . . 3  |-  ( 1o 
\  (/) )  =  1o
42, 3syl6eq 2301 . 2  |-  ( (/)  e.  On  ->  ( (/)  ^o  (/) )  =  1o )
51, 4ax-mp 10 1  |-  ( (/)  ^o  (/) )  =  1o
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1619    e. wcel 1621    \ cdif 3075   (/)c0 3362   Oncon0 4285  (class class class)co 5710   1oc1o 6358    ^o coe 6364
This theorem is referenced by:  oe0  6407  oev2  6408  oesuclem  6410  oecl  6422  oeoa  6481  oeoe  6483
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-suc 4291  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oexp 6371
  Copyright terms: Public domain W3C validator