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Theorem oawordri 6434
Description: Weak ordering property of ordinal addition. Proposition 8.7 of [TakeutiZaring] p. 59. (Contributed by NM, 7-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oawordri  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C )  C_  ( B  +o  C
) ) )

Proof of Theorem oawordri
StepHypRef Expression
1 oveq2 5718 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  (/) ) )
2 oveq2 5718 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  (/) ) )
31, 2sseq12d 3128 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  +o  x ) 
C_  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  (/) )  C_  ( B  +o  (/) ) ) )
4 oveq2 5718 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  y
) )
5 oveq2 5718 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  y
) )
64, 5sseq12d 3128 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  +o  x
)  C_  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y ) ) )
7 oveq2 5718 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  +o  x
)  =  ( A  +o  suc  y ) )
8 oveq2 5718 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  +o  x
)  =  ( B  +o  suc  y ) )
97, 8sseq12d 3128 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  suc  y )  C_  ( B  +o  suc  y
) ) )
10 oveq2 5718 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  C
) )
11 oveq2 5718 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  C
) )
1210, 11sseq12d 3128 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  +o  x
)  C_  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  C )  C_  ( B  +o  C ) ) )
13 oa0 6401 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
1413adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
15 oa0 6401 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
1615adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
1714, 16sseq12d 3128 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  (/) )  C_  ( B  +o  (/) )  <->  A  C_  B
) )
1817biimpar 473 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  C_  B
)  ->  ( A  +o  (/) )  C_  ( B  +o  (/) ) )
19 oacl 6420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  +o  y
)  e.  On )
20 eloni 4295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  +o  y )  e.  On  ->  Ord  ( A  +o  y
) )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  Ord  ( A  +o  y ) )
22 oacl 6420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  y
)  e.  On )
23 eloni 4295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  +o  y )  e.  On  ->  Ord  ( B  +o  y
) )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  Ord  ( B  +o  y ) )
25 ordsucsssuc 4505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  ( A  +o  y )  /\  Ord  ( B  +o  y
) )  ->  (
( A  +o  y
)  C_  ( B  +o  y )  <->  suc  ( A  +o  y )  C_  suc  ( B  +o  y
) ) )
2621, 24, 25syl2an 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( B  e.  On  /\  y  e.  On ) )  -> 
( ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y )  <->  suc  ( A  +o  y )  C_  suc  ( B  +o  y
) ) )
2726anandirs 807 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  <->  suc  ( A  +o  y )  C_  suc  ( B  +o  y
) ) )
28 oasuc 6409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y
) )
2928adantlr 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y
) )
30 oasuc 6409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
3130adantll 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
3229, 31sseq12d 3128 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  +o  suc  y ) 
C_  ( B  +o  suc  y )  <->  suc  ( A  +o  y )  C_  suc  ( B  +o  y
) ) )
3327, 32bitr4d 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  <->  ( A  +o  suc  y )  C_  ( B  +o  suc  y ) ) )
3433biimpd 200 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  ->  ( A  +o  suc  y )  C_  ( B  +o  suc  y
) ) )
3534expcom 426 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  ->  ( A  +o  suc  y )  C_  ( B  +o  suc  y
) ) ) )
3635adantrd 456 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  C_  B )  ->  (
( A  +o  y
)  C_  ( B  +o  y )  ->  ( A  +o  suc  y ) 
C_  ( B  +o  suc  y ) ) ) )
37 vex 2730 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
38 ss2iun 3818 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  x  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  ->  U_ y  e.  x  ( A  +o  y )  C_  U_ y  e.  x  ( B  +o  y ) )
39 oalim 6417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( A  +o  x )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  y ) )
4039adantlr 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e. 
_V  /\  Lim  x ) )  ->  ( A  +o  x )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  y ) )
41 oalim 6417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( B  +o  x )  =  U_ y  e.  x  ( B  +o  y ) )
4241adantll 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e. 
_V  /\  Lim  x ) )  ->  ( B  +o  x )  =  U_ y  e.  x  ( B  +o  y ) )
4340, 42sseq12d 3128 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e. 
_V  /\  Lim  x ) )  ->  ( ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x
)  <->  U_ y  e.  x  ( A  +o  y
)  C_  U_ y  e.  x  ( B  +o  y ) ) )
4438, 43syl5ibr 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e. 
_V  /\  Lim  x ) )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  ->  ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x ) ) )
4537, 44mpanr1 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  Lim  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y )  -> 
( A  +o  x
)  C_  ( B  +o  x ) ) )
4645expcom 426 . . . . . 6  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  +o  y
)  C_  ( B  +o  y )  ->  ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x
) ) ) )
4746adantrd 456 . . . . 5  |-  ( Lim  x  ->  ( (
( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  C_  B
)  ->  ( A. y  e.  x  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  ->  ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x ) ) ) )
483, 6, 9, 12, 18, 36, 47tfinds3 4546 . . . 4  |-  ( C  e.  On  ->  (
( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  C_  B )  ->  ( A  +o  C )  C_  ( B  +o  C
) ) )
4948exp4c 594 . . 3  |-  ( C  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C ) 
C_  ( B  +o  C ) ) ) ) )
5049com3l 77 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( C  e.  On  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C ) 
C_  ( B  +o  C ) ) ) ) )
51503imp 1150 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C )  C_  ( B  +o  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   _Vcvv 2727    C_ wss 3078   (/)c0 3362   U_ciun 3803   Ord word 4284   Oncon0 4285   Lim wlim 4286   suc csuc 4287  (class class class)co 5710    +o coa 6362
This theorem is referenced by:  oaword2  6437  omwordri  6456  oaabs2  6529
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-oadd 6369
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