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Theorem oaass 6445
Description: Ordinal addition is associative. Theorem 25 of [Suppes] p. 211. (Contributed by NM, 10-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oaass  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  (
( A  +o  B
)  +o  C )  =  ( A  +o  ( B  +o  C
) ) )

Proof of Theorem oaass
StepHypRef Expression
1 oveq2 5718 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  +o  B )  +o  x )  =  ( ( A  +o  B )  +o  (/) ) )
2 oveq2 5718 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  (/) ) )
32oveq2d 5726 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  +o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  +o  ( B  +o  (/) ) ) )
41, 3eqeq12d 2267 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( A  +o  B
)  +o  x )  =  ( A  +o  ( B  +o  x
) )  <->  ( ( A  +o  B )  +o  (/) )  =  ( A  +o  ( B  +o  (/) ) ) ) )
5 oveq2 5718 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  +o  B
)  +o  x )  =  ( ( A  +o  B )  +o  y ) )
6 oveq2 5718 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  y
) )
76oveq2d 5726 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  +o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
85, 7eqeq12d 2267 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  +o  B )  +o  x
)  =  ( A  +o  ( B  +o  x ) )  <->  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) )
9 oveq2 5718 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  +o  B )  +o  x
)  =  ( ( A  +o  B )  +o  suc  y ) )
10 oveq2 5718 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  +o  x
)  =  ( B  +o  suc  y ) )
1110oveq2d 5726 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  +o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  +o  ( B  +o  suc  y
) ) )
129, 11eqeq12d 2267 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ( A  +o  B )  +o  x )  =  ( A  +o  ( B  +o  x ) )  <-> 
( ( A  +o  B )  +o  suc  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  suc  y ) ) ) )
13 oveq2 5718 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  +o  B
)  +o  x )  =  ( ( A  +o  B )  +o  C ) )
14 oveq2 5718 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  C
) )
1514oveq2d 5726 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  ( A  +o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  +o  ( B  +o  C ) ) )
1613, 15eqeq12d 2267 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( A  +o  B )  +o  x
)  =  ( A  +o  ( B  +o  x ) )  <->  ( ( A  +o  B )  +o  C )  =  ( A  +o  ( B  +o  C ) ) ) )
17 oacl 6420 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  B
)  e.  On )
18 oa0 6401 . . . . . 6  |-  ( ( A  +o  B )  e.  On  ->  (
( A  +o  B
)  +o  (/) )  =  ( A  +o  B
) )
1917, 18syl 17 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  (/) )  =  ( A  +o  B
) )
20 oa0 6401 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
2120oveq2d 5726 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  +o  ( B  +o  (/) ) )  =  ( A  +o  B ) )
2221adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  ( B  +o  (/) ) )  =  ( A  +o  B
) )
2319, 22eqtr4d 2288 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  (/) )  =  ( A  +o  ( B  +o  (/) ) ) )
24 suceq 4350 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +o  B
)  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y
) )  ->  suc  ( ( A  +o  B )  +o  y
)  =  suc  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
25 oasuc 6409 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  +o  B
)  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  suc  y )  =  suc  ( ( A  +o  B )  +o  y
) )
2617, 25sylan 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  +o 
suc  y )  =  suc  ( ( A  +o  B )  +o  y ) )
27 oasuc 6409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
2827oveq2d 5726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  +o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( A  +o  suc  ( B  +o  y ) ) )
2928adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  y  e.  On ) )  ->  ( A  +o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( A  +o  suc  ( B  +o  y
) ) )
30 oacl 6420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  +o  y
)  e.  On )
31 oasuc 6409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  +o  y
)  e.  On )  ->  ( A  +o  suc  ( B  +o  y
) )  =  suc  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
3230, 31sylan2 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  y  e.  On ) )  ->  ( A  +o  suc  ( B  +o  y ) )  =  suc  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )
3329, 32eqtrd 2285 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( B  e.  On  /\  y  e.  On ) )  ->  ( A  +o  ( B  +o  suc  y ) )  =  suc  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )
3433anassrs 632 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( A  +o  ( B  +o  suc  y
) )  =  suc  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
3526, 34eqeq12d 2267 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( ( A  +o  B )  +o  suc  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  suc  y
) )  <->  suc  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  suc  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) ) )
3624, 35syl5ibr 214 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) )  ->  ( ( A  +o  B )  +o 
suc  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  suc  y ) ) ) )
3736expcom 426 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) )  ->  ( ( A  +o  B )  +o 
suc  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  suc  y ) ) ) ) )
38 vex 2730 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
39 oalim 6417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  +o  B
)  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  +o  B
)  +o  y ) )
4038, 39mpanr1 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  +o  B
)  e.  On  /\  Lim  x )  ->  (
( A  +o  B
)  +o  x )  =  U_ y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y ) )
4117, 40sylan 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  Lim  x )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  +o  B
)  +o  y ) )
4241ancoms 441 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  -> 
( ( A  +o  B )  +o  x
)  =  U_ y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y ) )
4342adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  x )  =  U_ y  e.  x  (
( A  +o  B
)  +o  y ) )
44 oalimcl 6444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  Lim  ( B  +o  x ) )
4538, 44mpanr1 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  Lim  ( B  +o  x
) )
4645ancoms 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  ->  Lim  ( B  +o  x
) )
47 ovex 5735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  +o  x )  e. 
_V
48 oalim 6417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( ( B  +o  x )  e.  _V  /\ 
Lim  ( B  +o  x ) ) )  ->  ( A  +o  ( B  +o  x
) )  =  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z ) )
4947, 48mpanr1 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  Lim  ( B  +o  x
) )  ->  ( A  +o  ( B  +o  x ) )  = 
U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z
) )
5046, 49sylan2 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  B  e.  On ) )  -> 
( A  +o  ( B  +o  x ) )  =  U_ z  e.  ( B  +o  x
) ( A  +o  z ) )
51 limelon 4348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  x  e.  On )
5238, 51mpan 654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim  x  ->  x  e.  On )
53 oacl 6420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( B  +o  x
)  e.  On )
5453ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  +o  x
)  e.  On )
55 onelon 4310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( B  +o  x
)  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  -> 
z  e.  On )
5655ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  +o  x )  e.  On  ->  (
z  e.  ( B  +o  x )  -> 
z  e.  On ) )
5754, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( z  e.  ( B  +o  x )  ->  z  e.  On ) )
5857adantld 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  z  e.  On ) )
5958adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Lim  x  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  z  e.  On ) )
60 0ellim 4347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( Lim  x  ->  (/)  e.  x
)
61 onelss 4327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( B  e.  On  ->  (
z  e.  B  -> 
z  C_  B )
)
6220sseq2d 3127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( B  e.  On  ->  (
z  C_  ( B  +o  (/) )  <->  z  C_  B ) )
6361, 62sylibrd 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( B  e.  On  ->  (
z  e.  B  -> 
z  C_  ( B  +o  (/) ) ) )
6463imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( B  e.  On  /\  z  e.  B )  ->  z  C_  ( B  +o  (/) ) )
65 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( y  =  (/)  ->  ( B  +o  y )  =  ( B  +o  (/) ) )
6665sseq2d 3127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  =  (/)  ->  ( z 
C_  ( B  +o  y )  <->  z  C_  ( B  +o  (/) ) ) )
6766rcla4ev 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
(/)  e.  x  /\  z  C_  ( B  +o  (/) ) )  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
) )
6860, 64, 67syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( Lim  x  /\  ( B  e.  On  /\  z  e.  B ) )  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y ) )
6968expr 601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  ->  (
z  e.  B  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y ) ) )
7069adantrl 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Lim  x  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( z  e.  B  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
) ) )
7170adantrr 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( Lim  x  /\  (
( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) ) )  -> 
( z  e.  B  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y ) ) )
72 oawordex 6441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( B  e.  On  /\  z  e.  On )  ->  ( B  C_  z  <->  E. y  e.  On  ( B  +o  y )  =  z ) )
7372ad2ant2l 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) )  ->  ( B  C_  z  <->  E. y  e.  On  ( B  +o  y )  =  z ) )
74 oaord 6431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  (
y  e.  x  <->  ( B  +o  y )  e.  ( B  +o  x ) ) )
75743expb 1157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  ->  ( y  e.  x  <->  ( B  +o  y )  e.  ( B  +o  x ) ) )
76 eleq1 2313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( B  +o  y )  =  z  ->  (
( B  +o  y
)  e.  ( B  +o  x )  <->  z  e.  ( B  +o  x
) ) )
7775, 76sylan9bb 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( y  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( B  +o  y )  =  z )  ->  (
y  e.  x  <->  z  e.  ( B  +o  x
) ) )
7877an32s 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( y  e.  On  /\  ( B  +o  y
)  =  z )  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  -> 
( y  e.  x  <->  z  e.  ( B  +o  x ) ) )
7978biimpar 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( y  e.  On  /\  ( B  +o  y )  =  z )  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  y  e.  x )
80 eqimss2 3152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( B  +o  y )  =  z  ->  z  C_  ( B  +o  y
) )
8180adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( y  e.  On  /\  ( B  +o  y
)  =  z )  ->  z  C_  ( B  +o  y ) )
8281ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( y  e.  On  /\  ( B  +o  y )  =  z )  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  z  C_  ( B  +o  y
) )
8379, 82jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( y  e.  On  /\  ( B  +o  y )  =  z )  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  (
y  e.  x  /\  z  C_  ( B  +o  y ) ) )
8483anasss 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( y  e.  On  /\  ( B  +o  y
)  =  z )  /\  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  z  e.  ( B  +o  x
) ) )  -> 
( y  e.  x  /\  z  C_  ( B  +o  y ) ) )
8584expcom 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  ->  ( (
y  e.  On  /\  ( B  +o  y
)  =  z )  ->  ( y  e.  x  /\  z  C_  ( B  +o  y
) ) ) )
8685reximdv2 2614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  ->  ( E. y  e.  On  ( B  +o  y )  =  z  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
) ) )
8786adantrr 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) )  ->  ( E. y  e.  On  ( B  +o  y
)  =  z  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y ) ) )
8873, 87sylbid 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) )  ->  ( B  C_  z  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
) ) )
8988adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( Lim  x  /\  (
( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) ) )  -> 
( B  C_  z  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y ) ) )
90 eloni 4295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  e.  On  ->  Ord  z )
91 eloni 4295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
92 ordtri2or 4381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( Ord  z  /\  Ord  B )  ->  ( z  e.  B  \/  B  C_  z ) )
9390, 91, 92syl2anr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( B  e.  On  /\  z  e.  On )  ->  ( z  e.  B  \/  B  C_  z ) )
9493ad2ant2l 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) )  ->  (
z  e.  B  \/  B  C_  z ) )
9594adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( Lim  x  /\  (
( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) ) )  -> 
( z  e.  B  \/  B  C_  z ) )
9671, 89, 95mpjaod 372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Lim  x  /\  (
( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( z  e.  ( B  +o  x
)  /\  z  e.  On ) ) )  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y ) )
9796exp45 600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Lim  x  ->  ( (
x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( z  e.  ( B  +o  x )  ->  ( z  e.  On  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
) ) ) ) )
9897imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Lim  x  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( z  e.  ( B  +o  x
)  ->  ( z  e.  On  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
) ) ) )
9998adantld 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Lim  x  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  (
z  e.  On  ->  E. y  e.  x  z 
C_  ( B  +o  y ) ) ) )
10099imp32 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )
)  ->  E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
) )
101 simplrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )
)  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  On )
102 onelon 4310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
103102, 30sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  x ) )  ->  ( B  +o  y )  e.  On )
104103exp32 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  On  ->  ( y  e.  x  -> 
( B  +o  y
)  e.  On ) ) )
105104com12 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( y  e.  x  -> 
( B  +o  y
)  e.  On ) ) )
106105imp31 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  y  e.  x
)  ->  ( B  +o  y )  e.  On )
107106adantll 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( B  +o  y )  e.  On )
108107adantlr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )
)  /\  y  e.  x )  ->  ( B  +o  y )  e.  On )
109 simpll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )  ->  A  e.  On )
110109ad2antlr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )
)  /\  y  e.  x )  ->  A  e.  On )
111 oaword 6433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( z  e.  On  /\  ( B  +o  y
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( z  C_  ( B  +o  y )  <->  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) )
112101, 108, 110, 111syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )
)  /\  y  e.  x )  ->  (
z  C_  ( B  +o  y )  <->  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) )
113112rexbidva 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )
)  ->  ( E. y  e.  x  z  C_  ( B  +o  y
)  <->  E. y  e.  x  ( A  +o  z
)  C_  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) ) )
114100, 113mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( x  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x ) )  /\  z  e.  On )
)  ->  E. y  e.  x  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
115114exp32 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Lim  x  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  (
z  e.  On  ->  E. y  e.  x  ( A  +o  z ) 
C_  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) ) ) )
11659, 115mpdd 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Lim  x  /\  (
x  e.  On  /\  B  e.  On )
)  ->  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  E. y  e.  x  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) )
117116exp32 591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim  x  ->  ( x  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  E. y  e.  x  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) ) ) )
11852, 117mpd 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Lim  x  ->  ( B  e.  On  ->  ( ( A  e.  On  /\  z  e.  ( B  +o  x
) )  ->  E. y  e.  x  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) ) )
119118exp4a 592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Lim  x  ->  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( z  e.  ( B  +o  x
)  ->  E. y  e.  x  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) ) ) )
120119imp31 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  ( z  e.  ( B  +o  x
)  ->  E. y  e.  x  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) )
121120ralrimiv 2587 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  A. z  e.  ( B  +o  x ) E. y  e.  x  ( A  +o  z
)  C_  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )
122 iunss2 3845 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  ( B  +o  x ) E. y  e.  x  ( A  +o  z )  C_  ( A  +o  ( B  +o  y ) )  ->  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z ) 
C_  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
123121, 122syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  /\  A  e.  On )  ->  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z
)  C_  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )
124123ancoms 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  B  e.  On ) )  ->  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z ) 
C_  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
125 oaordi 6430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( y  e.  x  ->  ( B  +o  y
)  e.  ( B  +o  x ) ) )
126125anim1d 549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( y  e.  x  /\  w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )  ->  ( ( B  +o  y )  e.  ( B  +o  x
)  /\  w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) ) )
127 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( B  +o  y )  ->  ( A  +o  z )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
128127eleq2d 2320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( B  +o  y )  ->  (
w  e.  ( A  +o  z )  <->  w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) ) )
129128rcla4ev 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  +o  y
)  e.  ( B  +o  x )  /\  w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )  ->  E. z  e.  ( B  +o  x ) w  e.  ( A  +o  z ) )
130126, 129syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( y  e.  x  /\  w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )  ->  E. z  e.  ( B  +o  x
) w  e.  ( A  +o  z ) ) )
131130exp3a 427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( y  e.  x  ->  ( w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y ) )  ->  E. z  e.  ( B  +o  x ) w  e.  ( A  +o  z ) ) ) )
132131rexlimdv 2628 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( E. y  e.  x  w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y ) )  ->  E. z  e.  ( B  +o  x ) w  e.  ( A  +o  z ) ) )
133 eliun 3807 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y
) )  <->  E. y  e.  x  w  e.  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
134 eliun 3807 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  U_ z  e.  ( B  +o  x
) ( A  +o  z )  <->  E. z  e.  ( B  +o  x
) w  e.  ( A  +o  z ) )
135132, 133, 1343imtr4g 263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( w  e.  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) )  ->  w  e.  U_ z  e.  ( B  +o  x
) ( A  +o  z ) ) )
136135ssrdv 3106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) 
C_  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z
) )
13752, 136sylan 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  ->  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y
) )  C_  U_ z  e.  ( B  +o  x
) ( A  +o  z ) )
138137adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  B  e.  On ) )  ->  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) 
C_  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z
) )
139124, 138eqssd 3117 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  B  e.  On ) )  ->  U_ z  e.  ( B  +o  x ) ( A  +o  z )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )
14050, 139eqtrd 2285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( Lim  x  /\  B  e.  On ) )  -> 
( A  +o  ( B  +o  x ) )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )
141140an12s 779 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  -> 
( A  +o  ( B  +o  x ) )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y
) ) )
142141adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )  ->  ( A  +o  ( B  +o  x
) )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
143 iuneq2 3819 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  x  (
( A  +o  B
)  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y
) )  ->  U_ y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
144143adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )  ->  U_ y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  U_ y  e.  x  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )
145142, 144eqtr4d 2288 . . . . . 6  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )  ->  ( A  +o  ( B  +o  x
) )  =  U_ y  e.  x  (
( A  +o  B
)  +o  y ) )
14643, 145eqtr4d 2288 . . . . 5  |-  ( ( ( Lim  x  /\  ( A  e.  On  /\  B  e.  On ) )  /\  A. y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y )  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) ) )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  x )  =  ( A  +o  ( B  +o  x ) ) )
147146exp31 590 . . . 4  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A. y  e.  x  ( ( A  +o  B )  +o  y
)  =  ( A  +o  ( B  +o  y ) )  -> 
( ( A  +o  B )  +o  x
)  =  ( A  +o  ( B  +o  x ) ) ) ) )
1484, 8, 12, 16, 23, 37, 147tfinds3 4546 . . 3  |-  ( C  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  B )  +o  C )  =  ( A  +o  ( B  +o  C ) ) ) )
149148com12 29 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( C  e.  On  ->  ( ( A  +o  B )  +o  C
)  =  ( A  +o  ( B  +o  C ) ) ) )
1501493impia 1153 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  (
( A  +o  B
)  +o  C )  =  ( A  +o  ( B  +o  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   E.wrex 2510   _Vcvv 2727    C_ wss 3078   (/)c0 3362   U_ciun 3803   Ord word 4284   Oncon0 4285   Lim wlim 4286   suc csuc 4287  (class class class)co 5710    +o coa 6362
This theorem is referenced by:  odi  6463  oaabs  6528  oaabs2  6529
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-oadd 6369
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