MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvz Unicode version

Theorem nvz 21065
Description: The norm of a vector is zero iff the vector is zero. First part of Problem 2 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvz.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nvz.5  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
nvz.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
Assertion
Ref Expression
nvz  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  A
)  =  0  <->  A  =  Z ) )

Proof of Theorem nvz
StepHypRef Expression
1 nvz.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 eqid 2253 . . . . . 6  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
3 eqid 2253 . . . . . 6  |-  ( .s
OLD `  U )  =  ( .s OLD `  U )
4 nvz.5 . . . . . 6  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
5 nvz.6 . . . . . 6  |-  N  =  ( normCV `  U )
61, 2, 3, 4, 5nvi 21000 . . . . 5  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( <. ( +v `  U ) ,  ( .s OLD `  U
) >.  e.  CVec OLD  /\  N : X --> RR  /\  A. x  e.  X  ( ( ( N `  x )  =  0  ->  x  =  Z )  /\  A. y  e.  CC  ( N `  ( y ( .s
OLD `  U )
x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( N `
 x ) )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x ( +v
`  U ) y ) )  <_  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) ) ) ) )
76simp3d 974 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  A. x  e.  X  ( ( ( N `
 x )  =  0  ->  x  =  Z )  /\  A. y  e.  CC  ( N `  ( y
( .s OLD `  U
) x ) )  =  ( ( abs `  y )  x.  ( N `  x )
)  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x ( +v
`  U ) y ) )  <_  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) ) ) )
8 simp1 960 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N `  x )  =  0  ->  x  =  Z )  /\  A. y  e.  CC  ( N `  ( y ( .s
OLD `  U )
x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( N `
 x ) )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x ( +v
`  U ) y ) )  <_  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) ) )  ->  ( ( N `  x )  =  0  ->  x  =  Z ) )
98ralimi 2580 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  (
( ( N `  x )  =  0  ->  x  =  Z )  /\  A. y  e.  CC  ( N `  ( y ( .s
OLD `  U )
x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( N `
 x ) )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x ( +v
`  U ) y ) )  <_  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) ) )  ->  A. x  e.  X  ( ( N `  x )  =  0  ->  x  =  Z ) )
10 fveq2 5377 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  ( N `  x )  =  ( N `  A ) )
1110eqeq1d 2261 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( N `  x
)  =  0  <->  ( N `  A )  =  0 ) )
12 eqeq1 2259 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  =  Z  <->  A  =  Z ) )
1311, 12imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( N `  x )  =  0  ->  x  =  Z )  <->  ( ( N `
 A )  =  0  ->  A  =  Z ) ) )
1413rcla4cv 2818 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  (
( N `  x
)  =  0  ->  x  =  Z )  ->  ( A  e.  X  ->  ( ( N `  A )  =  0  ->  A  =  Z ) ) )
157, 9, 143syl 20 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( A  e.  X  ->  ( ( N `  A )  =  0  ->  A  =  Z ) ) )
1615imp 420 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  A
)  =  0  ->  A  =  Z )
)
17 fveq2 5377 . . . . 5  |-  ( A  =  Z  ->  ( N `  A )  =  ( N `  Z ) )
184, 5nvz0 21064 . . . . 5  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( N `  Z )  =  0 )
1917, 18sylan9eqr 2307 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  =  Z )  ->  ( N `  A )  =  0 )
2019ex 425 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( A  =  Z  ->  ( N `  A )  =  0 ) )
2120adantr 453 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A  =  Z  ->  ( N `  A )  =  0 ) )
2216, 21impbid 185 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  A
)  =  0  <->  A  =  Z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   <.cop 3547   class class class wbr 3920   -->wf 4588   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   CCcc 8615   RRcr 8616   0cc0 8617    + caddc 8620    x. cmul 8622    <_ cle 8748   abscabs 11596   CVec
OLDcvc 20931   NrmCVeccnv 20970   +vcpv 20971   BaseSetcba 20972   .s
OLDcns 20973   0veccn0v 20974   normCVcnmcv 20976
This theorem is referenced by:  nvgt0  21071  nv1  21072  imsmetlem  21089  ipz  21125  nmlno0lem  21201  nmblolbii  21207  blocnilem  21212  siii  21261  hlipgt0  21323
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-sup 7078  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-rp 10234  df-seq 10925  df-exp 10983  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-grpo 20688  df-gid 20689  df-ginv 20690  df-ablo 20779  df-vc 20932  df-nv 20978  df-va 20981  df-ba 20982  df-sm 20983  df-0v 20984  df-nmcv 20986
  Copyright terms: Public domain W3C validator