Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvge0 Unicode version

Theorem nvge0 21070
 Description: The norm of a normed complex vector space is nonnegative. Second part of Problem 2 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvge0.1
nvge0.6 CV
Assertion
Ref Expression
nvge0

Proof of Theorem nvge0
StepHypRef Expression
1 nvge0.1 . . . 4
2 nvge0.6 . . . 4 CV
31, 2nvcl 21055 . . 3
4 2re 9695 . . 3
53, 4jctil 525 . 2
6 eqid 2253 . . . . . . . 8
76, 2nvz0 21064 . . . . . . 7
87adantr 453 . . . . . 6
9 ax-1cn 8675 . . . . . . . . . . 11
109negidi 8995 . . . . . . . . . 10
1110oveq1i 5720 . . . . . . . . 9
12 eqid 2253 . . . . . . . . . 10
131, 12, 6nv0 21025 . . . . . . . . 9
1411, 13syl5req 2298 . . . . . . . 8
15 neg1cn 9693 . . . . . . . . 9
16 eqid 2253 . . . . . . . . . . 11
171, 16, 12nvdir 21019 . . . . . . . . . 10
189, 17mp3anr1 1279 . . . . . . . . 9
1915, 18mpanr1 667 . . . . . . . 8
201, 12nvsid 21015 . . . . . . . . 9
2120oveq1d 5725 . . . . . . . 8
2214, 19, 213eqtrd 2289 . . . . . . 7
2322fveq2d 5381 . . . . . 6
248, 23eqtr3d 2287 . . . . 5
251, 12nvscl 21014 . . . . . . 7
2615, 25mp3an2 1270 . . . . . 6
271, 16, 2nvtri 21066 . . . . . 6
2826, 27mpd3an3 1283 . . . . 5
2924, 28eqbrtrd 3940 . . . 4
301, 12, 2nvm1 21060 . . . . . 6
3130oveq2d 5726 . . . . 5
323recnd 8741 . . . . . 6
33322timesd 9833 . . . . 5
3431, 33eqtr4d 2288 . . . 4
3529, 34breqtrd 3944 . . 3
36 2pos 9708 . . 3
3735, 36jctil 525 . 2
38 prodge0 9483 . 2
395, 37, 38syl2anc 645 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wa 360   wceq 1619   wcel 1621   class class class wbr 3920  cfv 4592  (class class class)co 5710  cc 8615  cr 8616  cc0 8617  c1 8618   caddc 8620   cmul 8622   clt 8747   cle 8748  cneg 8918  c2 9675  cnv 20970  cpv 20971  cba 20972  cns 20973  cn0v 20974  CVcnmcv 20976 This theorem is referenced by:  nvgt0  21071  smcnlem  21100  ipnm  21117  nmooge0  21175  nmoub3i  21181  siilem1  21259  siii  21261  ubthlem3  21281  minvecolem1  21283  minvecolem5  21290  minvecolem6  21291  htthlem  21327 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-sup 7078  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-rp 10234  df-seq 10925  df-exp 10983  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-grpo 20688  df-gid 20689  df-ginv 20690  df-ablo 20779  df-vc 20932  df-nv 20978  df-va 20981  df-ba 20982  df-sm 20983  df-0v 20984  df-nmcv 20986
 Copyright terms: Public domain W3C validator