MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nthruz Unicode version

Theorem nthruz 12404
Description: The sequence  NN,  NN0, and  ZZ forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to 
NN0 but not  NN and minus one belongs to  ZZ but not  NN0. This theorem refines the chain of proper subsets nthruc 12403. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
nthruz  |-  ( NN 
C.  NN0  /\  NN0  C.  ZZ )

Proof of Theorem nthruz
StepHypRef Expression
1 nnssnn0 9847 . . 3  |-  NN  C_  NN0
2 0nn0 9859 . . . 4  |-  0  e.  NN0
3 0nnn 9657 . . . 4  |-  -.  0  e.  NN
42, 3pm3.2i 443 . . 3  |-  ( 0  e.  NN0  /\  -.  0  e.  NN )
5 ssnelpss 3424 . . 3  |-  ( NN  C_  NN0  ->  ( (
0  e.  NN0  /\  -.  0  e.  NN )  ->  NN  C.  NN0 ) )
61, 4, 5mp2 19 . 2  |-  NN  C.  NN0
7 nn0ssz 9923 . . 3  |-  NN0  C_  ZZ
8 1nn 9637 . . . . 5  |-  1  e.  NN
9 nnnegz 9906 . . . . 5  |-  ( 1  e.  NN  ->  -u 1  e.  ZZ )
108, 9ax-mp 10 . . . 4  |-  -u 1  e.  ZZ
11 neg0 8973 . . . . . . 7  |-  -u 0  =  0
12 0lt1 9176 . . . . . . 7  |-  0  <  1
1311, 12eqbrtri 3939 . . . . . 6  |-  -u 0  <  1
14 1re 8717 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
15 0re 8718 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
1614, 15ltnegcon1i 9204 . . . . . 6  |-  ( -u
1  <  0  <->  -u 0  <  1 )
1713, 16mpbir 202 . . . . 5  |-  -u 1  <  0
18 nn0nlt0 9871 . . . . 5  |-  ( -u
1  e.  NN0  ->  -.  -u 1  <  0
)
1917, 18mt2 172 . . . 4  |-  -.  -u 1  e.  NN0
2010, 19pm3.2i 443 . . 3  |-  ( -u
1  e.  ZZ  /\  -.  -u 1  e.  NN0 )
21 ssnelpss 3424 . . 3  |-  ( NN0  C_  ZZ  ->  ( ( -u 1  e.  ZZ  /\  -.  -u 1  e.  NN0 )  ->  NN0  C.  ZZ ) )
227, 20, 21mp2 19 . 2  |-  NN0  C.  ZZ
236, 22pm3.2i 443 1  |-  ( NN 
C.  NN0  /\  NN0  C.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    /\ wa 360    e. wcel 1621    C_ wss 3078    C. wpss 3079   class class class wbr 3920   0cc0 8617   1c1 8618    < clt 8747   -ucneg 8918   NNcn 9626   NN0cn0 9844   ZZcz 9903
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-n 9627  df-n0 9845  df-z 9904
  Copyright terms: Public domain W3C validator