Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nqereq Unicode version

Theorem nqereq 8439
 Description: The function acts as a substitute for equivalence classes, and it satisfies the fundamental requirement for equivalence representatives: the representatives are equal iff the members are equivalent. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nqereq

Proof of Theorem nqereq
StepHypRef Expression
1 nqercl 8435 . . . . 5
213ad2ant1 981 . . . 4
3 nqercl 8435 . . . . 5
433ad2ant2 982 . . . 4
5 enqer 8425 . . . . . 6
65a1i 12 . . . . 5
7 nqerrel 8436 . . . . . . 7
873ad2ant1 981 . . . . . 6
9 simp3 962 . . . . . 6
106, 8, 9ertr3d 6564 . . . . 5
11 nqerrel 8436 . . . . . 6
12113ad2ant2 982 . . . . 5
136, 10, 12ertrd 6562 . . . 4
14 enqeq 8438 . . . 4
152, 4, 13, 14syl3anc 1187 . . 3
16153expia 1158 . 2
175a1i 12 . . . 4
187adantr 453 . . . . 5
19 simprr 736 . . . . 5
2018, 19breqtrd 3944 . . . 4
2111ad2antrl 711 . . . 4
2217, 20, 21ertr4d 6565 . . 3
2322expr 601 . 2
2416, 23impbid 185 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   wa 360   w3a 939   wceq 1619   wcel 1621   class class class wbr 3920   cxp 4578  cfv 4592   wer 6543  cnpi 8346   ceq 8353  cnq 8354  cerq 8356 This theorem is referenced by:  adderpq  8460  mulerpq  8461  distrnq  8465  recmulnq  8468  ltexnq  8479 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-ni 8376  df-mi 8378  df-lti 8379  df-enq 8415  df-nq 8416  df-erq 8417  df-1nq 8420
 Copyright terms: Public domain W3C validator