Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normlem6 Unicode version

Theorem normlem6 21524
 Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 2-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1
normlem1.2
normlem1.3
normlem2.4
normlem3.5
normlem3.6
normlem6.7
Assertion
Ref Expression
normlem6

Proof of Theorem normlem6
StepHypRef Expression
1 normlem3.5 . . . . . . . . 9
2 normlem1.3 . . . . . . . . . 10
3 hiidrcl 21504 . . . . . . . . . 10
42, 3ax-mp 10 . . . . . . . . 9
51, 4eqeltri 2323 . . . . . . . 8
65a1i 12 . . . . . . 7
7 normlem1.1 . . . . . . . . 9
8 normlem1.2 . . . . . . . . 9
9 normlem2.4 . . . . . . . . 9
107, 8, 2, 9normlem2 21520 . . . . . . . 8
1110a1i 12 . . . . . . 7
12 normlem3.6 . . . . . . . . 9
13 hiidrcl 21504 . . . . . . . . . 10
148, 13ax-mp 10 . . . . . . . . 9
1512, 14eqeltri 2323 . . . . . . . 8
1615a1i 12 . . . . . . 7
17 oveq1 5717 . . . . . . . . . . . . 13
1817oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . 12
19 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . 12
2018, 19oveq12d 5728 . . . . . . . . . . 11
2120oveq1d 5725 . . . . . . . . . 10
2221breq2d 3932 . . . . . . . . 9
23 0re 8718 . . . . . . . . . . 11
2423elimel 3522 . . . . . . . . . 10
25 normlem6.7 . . . . . . . . . 10
267, 8, 2, 9, 1, 12, 24, 25normlem5 21523 . . . . . . . . 9
2722, 26dedth 3511 . . . . . . . 8
2827adantl 454 . . . . . . 7
296, 11, 16, 28discr 11116 . . . . . 6
3029trud 1320 . . . . 5
3110resqcli 11067 . . . . . 6
32 4re 9699 . . . . . . 7
335, 15remulcli 8731 . . . . . . 7
3432, 33remulcli 8731 . . . . . 6
3531, 34, 23lesubadd2i 9213 . . . . 5
3630, 35mpbi 201 . . . 4
3734recni 8729 . . . . 5
3837addid1i 8879 . . . 4
3936, 38breqtri 3943 . . 3
4010sqge0i 11069 . . . 4
41 4pos 9712 . . . . . 6
4223, 32, 41ltleii 8821 . . . . 5
43 hiidge0 21507 . . . . . . . 8
442, 43ax-mp 10 . . . . . . 7
4544, 1breqtrri 3945 . . . . . 6
46 hiidge0 21507 . . . . . . . 8
478, 46ax-mp 10 . . . . . . 7
4847, 12breqtrri 3945 . . . . . 6
495, 15mulge0i 9200 . . . . . 6
5045, 48, 49mp2an 656 . . . . 5
5132, 33mulge0i 9200 . . . . 5
5242, 50, 51mp2an 656 . . . 4
5331, 34sqrlei 11749 . . . 4
5440, 52, 53mp2an 656 . . 3
5539, 54mpbi 201 . 2
5610absrei 11742 . 2
5732, 33, 42, 50sqrmulii 11747 . . 3
58 sqr4 11635 . . . 4
595, 15, 45, 48sqrmulii 11747 . . . 4
6058, 59oveq12i 5722 . . 3
6157, 60eqtr2i 2274 . 2
6255, 56, 613brtr4i 3948 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 178   wtru 1312   wceq 1619   wcel 1621  cif 3470   class class class wbr 3920  cfv 4592  (class class class)co 5710  cc 8615  cr 8616  cc0 8617  c1 8618   caddc 8620   cmul 8622   cle 8748   cmin 8917  cneg 8918  c2 9675  c4 9677  cexp 10982  ccj 11458  csqr 11595  cabs 11596  chil 21329   csp 21332 This theorem is referenced by:  normlem7  21525 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-hfvadd 21410  ax-hv0cl 21413  ax-hfvmul 21415  ax-hvmulass 21417  ax-hvmul0 21420  ax-hfi 21488  ax-his1 21491  ax-his2 21492  ax-his3 21493  ax-his4 21494 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-sup 7078  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-rp 10234  df-seq 10925  df-exp 10983  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-hvsub 21381
 Copyright terms: Public domain W3C validator