Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normlem0 Unicode version

Theorem normlem0 21518
 Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 7-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1
normlem1.2
normlem1.3
Assertion
Ref Expression
normlem0

Proof of Theorem normlem0
StepHypRef Expression
1 normlem1.2 . . . . 5
2 normlem1.1 . . . . . 6
3 normlem1.3 . . . . . 6
42, 3hvmulcli 21424 . . . . 5
51, 4hvsubvali 21430 . . . 4
62mulm1i 9104 . . . . . . 7
76oveq1i 5720 . . . . . 6
8 neg1cn 9693 . . . . . . 7
98, 2, 3hvmulassi 21455 . . . . . 6
107, 9eqtr3i 2275 . . . . 5
1110oveq2i 5721 . . . 4
125, 11eqtr4i 2276 . . 3
1312, 12oveq12i 5722 . 2
142negcli 8994 . . . 4
1514, 3hvmulcli 21424 . . 3
161, 15hvaddcli 21428 . . 3
17 ax-his2 21492 . . 3
181, 15, 16, 17mp3an 1282 . 2
19 his7 21499 . . . . 5
201, 1, 15, 19mp3an 1282 . . . 4
21 his5 21495 . . . . . . 7
2214, 1, 3, 21mp3an 1282 . . . . . 6
232cjnegi 11544 . . . . . . 7
2423oveq1i 5720 . . . . . 6
2522, 24eqtri 2273 . . . . 5
2625oveq2i 5721 . . . 4
2720, 26eqtri 2273 . . 3
28 ax-his3 21493 . . . . 5
2914, 3, 16, 28mp3an 1282 . . . 4
30 his7 21499 . . . . . . 7
313, 1, 15, 30mp3an 1282 . . . . . 6
32 his5 21495 . . . . . . . 8
3314, 3, 3, 32mp3an 1282 . . . . . . 7
3433oveq2i 5721 . . . . . 6
3531, 34eqtri 2273 . . . . 5
3635oveq2i 5721 . . . 4
373, 1hicli 21490 . . . . . 6
3814cjcli 11531 . . . . . . 7
393, 3hicli 21490 . . . . . . 7
4038, 39mulcli 8722 . . . . . 6
4114, 37, 40adddii 8727 . . . . 5
4214, 38, 39mulassi 8726 . . . . . . 7
4323oveq2i 5721 . . . . . . . . 9
442cjcli 11531 . . . . . . . . . 10
452, 44mul2negi 9107 . . . . . . . . 9
4643, 45eqtri 2273 . . . . . . . 8
4746oveq1i 5720 . . . . . . 7
4842, 47eqtr3i 2275 . . . . . 6
4948oveq2i 5721 . . . . 5
5041, 49eqtri 2273 . . . 4
5129, 36, 503eqtri 2277 . . 3
5227, 51oveq12i 5722 . 2
5313, 18, 523eqtri 2277 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wceq 1619   wcel 1621  cfv 4592  (class class class)co 5710  cc 8615  c1 8618   caddc 8620   cmul 8622  cneg 8918  ccj 11458  chil 21329   cva 21330   csm 21331   csp 21332   cmv 21335 This theorem is referenced by:  normlem1  21519 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-hfvadd 21410  ax-hfvmul 21415  ax-hvmulass 21417  ax-hfi 21488  ax-his1 21491  ax-his2 21492  ax-his3 21493 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-iota 6143  df-riota 6190  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-2 9684  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-hvsub 21381
 Copyright terms: Public domain W3C validator