MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnm0r Unicode version

Theorem nnm0r 6494
Description: Multiplication with zero. Exercise 16 of [Enderton] p. 82. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnm0r  |-  ( A  e.  om  ->  ( (/) 
.o  A )  =  (/) )

Proof of Theorem nnm0r
StepHypRef Expression
1 oveq2 5718 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (/)  .o  x )  =  (
(/)  .o  (/) ) )
21eqeq1d 2261 . 2  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
(/)  .o  x )  =  (/)  <->  ( (/)  .o  (/) )  =  (/) ) )
3 oveq2 5718 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( (/) 
.o  x )  =  ( (/)  .o  y
) )
43eqeq1d 2261 . 2  |-  ( x  =  y  ->  (
( (/)  .o  x )  =  (/)  <->  ( (/)  .o  y
)  =  (/) ) )
5 oveq2 5718 . . 3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( (/)  .o  x )  =  ( (/)  .o  suc  y ) )
65eqeq1d 2261 . 2  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( (/)  .o  x
)  =  (/)  <->  ( (/)  .o  suc  y )  =  (/) ) )
7 oveq2 5718 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( (/) 
.o  x )  =  ( (/)  .o  A
) )
87eqeq1d 2261 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( (/)  .o  x )  =  (/)  <->  ( (/)  .o  A
)  =  (/) ) )
9 om0x 6404 . 2  |-  ( (/)  .o  (/) )  =  (/)
10 oveq1 5717 . . . 4  |-  ( (
(/)  .o  y )  =  (/)  ->  ( ( (/) 
.o  y )  +o  (/) )  =  ( (/) 
+o  (/) ) )
11 0elon 4338 . . . . 5  |-  (/)  e.  On
12 oa0 6401 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  On  ->  ( (/)  +o  (/) )  =  (/) )
1311, 12ax-mp 10 . . . 4  |-  ( (/)  +o  (/) )  =  (/)
1410, 13syl6eq 2301 . . 3  |-  ( (
(/)  .o  y )  =  (/)  ->  ( ( (/) 
.o  y )  +o  (/) )  =  (/) )
15 peano1 4566 . . . . 5  |-  (/)  e.  om
16 nnmsuc 6491 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( (/) 
.o  suc  y )  =  ( ( (/)  .o  y )  +o  (/) ) )
1715, 16mpan 654 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( (/) 
.o  suc  y )  =  ( ( (/)  .o  y )  +o  (/) ) )
1817eqeq1d 2261 . . 3  |-  ( y  e.  om  ->  (
( (/)  .o  suc  y
)  =  (/)  <->  ( ( (/) 
.o  y )  +o  (/) )  =  (/) ) )
1914, 18syl5ibr 214 . 2  |-  ( y  e.  om  ->  (
( (/)  .o  y )  =  (/)  ->  ( (/)  .o 
suc  y )  =  (/) ) )
202, 4, 6, 8, 9, 19finds 4573 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( (/) 
.o  A )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   (/)c0 3362   Oncon0 4285   suc csuc 4287   omcom 4547  (class class class)co 5710    +o coa 6362    .o comu 6363
This theorem is referenced by:  nnmcom  6510  nnmord  6516  nnmwordi  6519
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-oadd 6369  df-omul 6370
  Copyright terms: Public domain W3C validator