Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nna0r Unicode version

Theorem nna0r 6493
 Description: Addition to zero. Remark in proof of Theorem 4K(2) of [Enderton] p. 81. Note: In this and later theorems, we deliberately avoid the more general ordinal versions of these theorems (in this case oa0r 6423) so that we can avoid ax-rep 4028, which is not needed for finite recursive definitions. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nna0r

Proof of Theorem nna0r
StepHypRef Expression
1 oveq2 5718 . . 3
2 id 21 . . 3
31, 2eqeq12d 2267 . 2
4 oveq2 5718 . . 3
5 id 21 . . 3
64, 5eqeq12d 2267 . 2
7 oveq2 5718 . . 3
8 id 21 . . 3
97, 8eqeq12d 2267 . 2
10 oveq2 5718 . . 3
11 id 21 . . 3
1210, 11eqeq12d 2267 . 2
13 0elon 4338 . . 3
14 oa0 6401 . . 3
1513, 14ax-mp 10 . 2
16 peano1 4566 . . . 4
17 nnasuc 6490 . . . 4
1816, 17mpan 654 . . 3
19 suceq 4350 . . . 4
2019eqeq2d 2264 . . 3
2118, 20syl5ibcom 213 . 2
223, 6, 9, 12, 15, 21finds 4573 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wceq 1619   wcel 1621  c0 3362  con0 4285   csuc 4287  com 4547  (class class class)co 5710   coa 6362 This theorem is referenced by:  nnacom  6501  nnm1  6532 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-oadd 6369
 Copyright terms: Public domain W3C validator