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Theorem nn0seqcvgd 12614
Description: A strictly-decreasing nonnegative integer sequence with initial term  N reaches zero by the  N th term. Deduction version. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0seqcvgd.1  |-  ( ph  ->  F : NN0 --> NN0 )
nn0seqcvgd.2  |-  ( ph  ->  N  =  ( F `
 0 ) )
nn0seqcvgd.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  =/=  0  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( F `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
nn0seqcvgd  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  =  0 )
Distinct variable groups:    k, F    k, N    ph, k

Proof of Theorem nn0seqcvgd
StepHypRef Expression
1 nn0seqcvgd.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  =  ( F `
 0 ) )
2 nn0seqcvgd.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : NN0 --> NN0 )
3 0nn0 9859 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
4 ffvelrn 5515 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN0 --> NN0  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( F `  0
)  e.  NN0 )
52, 3, 4sylancl 646 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  e.  NN0 )
61, 5eqeltrd 2327 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
76nn0red 9898 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
87leidd 9219 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  <_  N )
9 fveq2 5377 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  ( F `  m )  =  ( F ` 
0 ) )
10 oveq2 5718 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  ( N  -  m )  =  ( N  - 
0 ) )
119, 10breq12d 3933 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  (
( F `  m
)  <_  ( N  -  m )  <->  ( F `  0 )  <_ 
( N  -  0 ) ) )
1211imbi2d 309 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
( ph  ->  ( F `
 m )  <_ 
( N  -  m
) )  <->  ( ph  ->  ( F `  0
)  <_  ( N  -  0 ) ) ) )
13 fveq2 5377 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  ( F `  m )  =  ( F `  k ) )
14 oveq2 5718 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  ( N  -  m )  =  ( N  -  k ) )
1513, 14breq12d 3933 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  (
( F `  m
)  <_  ( N  -  m )  <->  ( F `  k )  <_  ( N  -  k )
) )
1615imbi2d 309 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  (
( ph  ->  ( F `
 m )  <_ 
( N  -  m
) )  <->  ( ph  ->  ( F `  k
)  <_  ( N  -  k ) ) ) )
17 fveq2 5377 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  m )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
18 oveq2 5718 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( N  -  m )  =  ( N  -  ( k  +  1 ) ) )
1917, 18breq12d 3933 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  m
)  <_  ( N  -  m )  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
2019imbi2d 309 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( F `
 m )  <_ 
( N  -  m
) )  <->  ( ph  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) ) )
21 fveq2 5377 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  N  ->  ( F `  m )  =  ( F `  N ) )
22 oveq2 5718 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  N  ->  ( N  -  m )  =  ( N  -  N ) )
2321, 22breq12d 3933 . . . . . . 7  |-  ( m  =  N  ->  (
( F `  m
)  <_  ( N  -  m )  <->  ( F `  N )  <_  ( N  -  N )
) )
2423imbi2d 309 . . . . . 6  |-  ( m  =  N  ->  (
( ph  ->  ( F `
 m )  <_ 
( N  -  m
) )  <->  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  ( N  -  N ) ) ) )
251, 8eqbrtrrd 3942 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  <_  N )
267recnd 8741 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
2726subid1d 9026 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  -  0 )  =  N )
2825, 27breqtrrd 3946 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  <_  ( N  -  0 ) )
2928a1i 12 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( F `  0
)  <_  ( N  -  0 ) ) )
30 nn0re 9853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
31 posdif 9147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( k  <  N  <->  0  <  ( N  -  k ) ) )
3230, 7, 31syl2anr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  <  N  <->  0  <  ( N  -  k )
) )
3332adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )  -> 
( k  <  N  <->  0  <  ( N  -  k ) ) )
34 breq1 3923 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <  ( N  -  k )  <->  0  <  ( N  -  k ) ) )
3534adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )  -> 
( ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( N  -  k )  <->  0  <  ( N  -  k ) ) )
36 peano2nn0 9883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
37 ffvelrn 5515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : NN0 --> NN0  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  NN0 )
382, 36, 37syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  NN0 )
3938nn0zd 9994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ZZ )
406nn0zd 9994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
41 nn0z 9925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
42 zsubcl 9940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  -  k
)  e.  ZZ )
4340, 41, 42syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N  -  k )  e.  ZZ )
44 zltlem1 9949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( N  -  k
)  e.  ZZ )  ->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  < 
( N  -  k
)  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  (
( N  -  k
)  -  1 ) ) )
4539, 43, 44syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( N  -  k )  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  (
( N  -  k
)  -  1 ) ) )
46 nn0cn 9854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
47 ax-1cn 8675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  CC
48 subsub4 8960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  CC  /\  k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( N  -  k
)  -  1 )  =  ( N  -  ( k  +  1 ) ) )
4947, 48mp3an3 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( N  -  k )  -  1 )  =  ( N  -  ( k  +  1 ) ) )
5026, 46, 49syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( N  -  k )  -  1 )  =  ( N  -  (
k  +  1 ) ) )
5150breq2d 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( ( N  -  k )  - 
1 )  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
5245, 51bitrd 246 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( N  -  k )  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
5352adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )  -> 
( ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( N  -  k )  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
5433, 35, 533bitr2d 274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )  -> 
( k  <  N  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
5554biimpa 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )  /\  k  <  N )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) )
5655an32s 782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <  N )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) )
5756a1d 24 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <  N )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )  -> 
( ( F `  k )  <_  ( N  -  k )  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
58 nn0seqcvgd.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  =/=  0  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( F `  k ) ) )
5938nn0red 9898 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
60 ffvelrn 5515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : NN0 --> NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( F `  k
)  e.  NN0 )
612, 60sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  e.  NN0 )
6261nn0red 9898 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
6343zred 9996 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N  -  k )  e.  RR )
64 ltletr 8793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR  /\  ( N  -  k )  e.  RR )  ->  (
( ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( F `  k )  /\  ( F `  k
)  <_  ( N  -  k ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( N  -  k )
) )
6559, 62, 63, 64syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( F `  (
k  +  1 ) )  <  ( F `
 k )  /\  ( F `  k )  <_  ( N  -  k ) )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  <  ( N  -  k ) ) )
6665, 52sylibd 207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( F `  (
k  +  1 ) )  <  ( F `
 k )  /\  ( F `  k )  <_  ( N  -  k ) )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
6758, 66syland 469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( F `  (
k  +  1 ) )  =/=  0  /\  ( F `  k
)  <_  ( N  -  k ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
6867adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <  N )  ->  (
( ( F `  ( k  +  1 ) )  =/=  0  /\  ( F `  k
)  <_  ( N  -  k ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
6968expdimp 428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <  N )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =/=  0 )  -> 
( ( F `  k )  <_  ( N  -  k )  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
7057, 69pm2.61dane 2490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <  N )  ->  (
( F `  k
)  <_  ( N  -  k )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
7170anasss 631 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  k  < 
N ) )  -> 
( ( F `  k )  <_  ( N  -  k )  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
7271expcom 426 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  k  <  N )  -> 
( ph  ->  ( ( F `  k )  <_  ( N  -  k )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) ) )
7372a2d 25 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  k  <  N )  -> 
( ( ph  ->  ( F `  k )  <_  ( N  -  k ) )  -> 
( ph  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( N  -  (
k  +  1 ) ) ) ) )
74733adant1 978 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0  /\  k  <  N )  ->  (
( ph  ->  ( F `
 k )  <_ 
( N  -  k
) )  ->  ( ph  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) ) )
7512, 16, 20, 24, 29, 74fnn0ind 9989 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  N  <_  N )  ->  ( ph  ->  ( F `  N )  <_  ( N  -  N )
) )
766, 6, 8, 75syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ph  ->  ( F `  N )  <_  ( N  -  N
) ) )
7776pm2.43i 45 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  ( N  -  N ) )
7826subidd 9025 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  -  N
)  =  0 )
7977, 78breqtrd 3944 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  0 )
80 ffvelrn 5515 . . . 4  |-  ( ( F : NN0 --> NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( F `  N
)  e.  NN0 )
812, 6, 80syl2anc 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  NN0 )
8281nn0ge0d 9900 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  ( F `  N ) )
8381nn0red 9898 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
84 0re 8718 . . 3  |-  0  e.  RR
85 letri3 8787 . . 3  |-  ( ( ( F `  N
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( F `  N )  =  0  <-> 
( ( F `  N )  <_  0  /\  0  <_  ( F `
 N ) ) ) )
8683, 84, 85sylancl 646 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  =  0  <-> 
( ( F `  N )  <_  0  /\  0  <_  ( F `
 N ) ) ) )
8779, 82, 86mpbir2and 893 1  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   class class class wbr 3920   -->wf 4588   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   CCcc 8615   RRcr 8616   0cc0 8617   1c1 8618    + caddc 8620    < clt 8747    <_ cle 8748    - cmin 8917   NN0cn0 9844   ZZcz 9903
This theorem is referenced by:  algcvg  12620  nn0seqcvg  23180
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-n 9627  df-n0 9845  df-z 9904
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