Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0opthi Unicode version

Theorem nn0opthi 11163
 Description: An ordered pair theorem for nonnegative integers. Theorem 17.3 of [Quine] p. 124. We can represent an ordered pair of nonnegative integers and by . If two such ordered pairs are equal, their first elements are equal and their second elements are equal. Contrast this ordered pair representation with the standard one df-op 3553 that works for any set. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Proof shortened by Scott Fenton, 8-Sep-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0opth.1
nn0opth.2
nn0opth.3
nn0opth.4
Assertion
Ref Expression
nn0opthi

Proof of Theorem nn0opthi
StepHypRef Expression
1 nn0opth.1 . . . . . . . . . 10
2 nn0opth.2 . . . . . . . . . 10
31, 2nn0addcli 9880 . . . . . . . . 9
43nn0rei 9855 . . . . . . . 8
5 nn0opth.3 . . . . . . . . . 10
6 nn0opth.4 . . . . . . . . . 10
75, 6nn0addcli 9880 . . . . . . . . 9
87nn0rei 9855 . . . . . . . 8
94, 8lttri2i 8812 . . . . . . 7
101, 2, 7, 6nn0opthlem2 11162 . . . . . . . . 9
1110necomd 2495 . . . . . . . 8
125, 6, 3, 2nn0opthlem2 11162 . . . . . . . 8
1311, 12jaoi 370 . . . . . . 7
149, 13sylbi 189 . . . . . 6
1514necon4i 2472 . . . . 5
16 id 21 . . . . . . . 8
1715, 15oveq12d 5728 . . . . . . . . 9
1817oveq1d 5725 . . . . . . . 8
1916, 18eqtr4d 2288 . . . . . . 7
203nn0cni 9856 . . . . . . . . 9
2120, 20mulcli 8722 . . . . . . . 8
222nn0cni 9856 . . . . . . . 8
236nn0cni 9856 . . . . . . . 8
2421, 22, 23addcani 8885 . . . . . . 7
2519, 24sylib 190 . . . . . 6
2625oveq2d 5726 . . . . 5
2715, 26eqtr4d 2288 . . . 4
281nn0cni 9856 . . . . 5
295nn0cni 9856 . . . . 5
3028, 29, 22addcan2i 8886 . . . 4
3127, 30sylib 190 . . 3
3231, 25jca 520 . 2
33 oveq12 5719 . . . 4
3433, 33oveq12d 5728 . . 3
35 simpr 449 . . 3
3634, 35oveq12d 5728 . 2
3732, 36impbii 182 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 178   wo 359   wa 360   wceq 1619   wcel 1621   wne 2412   class class class wbr 3920  (class class class)co 5710   caddc 8620   cmul 8622   clt 8747  cn0 9844 This theorem is referenced by:  nn0opth2i  11164 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-n 9627  df-2 9684  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-seq 10925  df-exp 10983
 Copyright terms: Public domain W3C validator