Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmcfnexi Unicode version

Theorem nmcfnexi 22461
 Description: The norm of a continuous linear Hilbert space functional exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcfnex.1
nmcfnex.2
Assertion
Ref Expression
nmcfnexi

Proof of Theorem nmcfnexi
StepHypRef Expression
1 nmcfnex.2 . . . 4
2 ax-hv0cl 21413 . . . 4
3 1rp 10237 . . . 4
4 cnfnc 22340 . . . 4
51, 2, 3, 4mp3an 1282 . . 3
6 hvsub0 21485 . . . . . . . 8
76fveq2d 5381 . . . . . . 7
87breq1d 3930 . . . . . 6
9 nmcfnex.1 . . . . . . . . . . 11
109lnfn0i 22452 . . . . . . . . . 10
1110oveq2i 5721 . . . . . . . . 9
129lnfnfi 22451 . . . . . . . . . . 11
1312ffvelrni 5516 . . . . . . . . . 10
1413subid1d 9026 . . . . . . . . 9
1511, 14syl5eq 2297 . . . . . . . 8
1615fveq2d 5381 . . . . . . 7
1716breq1d 3930 . . . . . 6
188, 17imbi12d 313 . . . . 5
1918ralbiia 2537 . . . 4
2019rexbii 2532 . . 3
215, 20mpbi 201 . 2
22 nmfnval 22286 . . 3
2312, 22ax-mp 10 . 2
2412ffvelrni 5516 . . 3
2524abscld 11795 . 2
2610fveq2i 5380 . . 3
27 abs0 11647 . . 3
2826, 27eqtri 2273 . 2
29 rpcn 10241 . . . . 5
309lnfnmuli 22454 . . . . 5
3129, 30sylan 459 . . . 4
3231fveq2d 5381 . . 3
33 absmul 11656 . . . 4
3429, 24, 33syl2an 465 . . 3
35 rpre 10239 . . . . . 6
36 rpge0 10245 . . . . . 6
3735, 36absidd 11782 . . . . 5
3837adantr 453 . . . 4
3938oveq1d 5725 . . 3
4032, 34, 393eqtrrd 2290 . 2
4121, 23, 25, 28, 40nmcexi 22436 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wa 360   wceq 1619   wcel 1621  cab 2239  wral 2509  wrex 2510   class class class wbr 3920  wf 4588  cfv 4592  (class class class)co 5710  csup 7077  cc 8615  cr 8616  cc0 8617  c1 8618   cmul 8622  cxr 8746   clt 8747   cle 8748   cmin 8917   cdiv 9303  c2 9675  crp 10233  cabs 11596  chil 21329   csm 21331  cno 21333  c0v 21334   cmv 21335  cnmf 21361  ccnfn 21363  clf 21364 This theorem is referenced by:  nmcfnlbi  22462  nmcfnex  22463 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-hilex 21409  ax-hv0cl 21413  ax-hvaddid 21414  ax-hfvmul 21415  ax-hvmulid 21416  ax-hvmulass 21417  ax-hvmul0 21420  ax-hfi 21488  ax-his1 21491  ax-his3 21493  ax-his4 21494 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-sup 7078  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-rp 10234  df-seq 10925  df-exp 10983  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-hnorm 21378  df-hvsub 21381  df-nmfn 22255  df-cnfn 22257  df-lnfn 22258
 Copyright terms: Public domain W3C validator