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Theorem neips 16682
Description: A neighborhood of a set is a neighborhood of every point in the set. Proposition of [BourbakiTop1] p. I.2. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
neips.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
neips  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J ) `  S )  <->  A. p  e.  S  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ) )
Distinct variable groups:    J, p    N, p    S, p    X, p

Proof of Theorem neips
StepHypRef Expression
1 snssi 3659 . . . . . 6  |-  ( p  e.  S  ->  { p }  C_  S )
2 neiss 16678 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S )  /\  {
p }  C_  S
)  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) )
31, 2syl3an3 1222 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S )  /\  p  e.  S )  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) )
433exp 1155 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J ) `  S )  ->  (
p  e.  S  ->  N  e.  ( ( nei `  J ) `  { p } ) ) ) )
54ralrimdv 2594 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J ) `  S )  ->  A. p  e.  S  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ) )
653ad2ant1 981 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J ) `  S )  ->  A. p  e.  S  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ) )
7 r19.28zv 3455 . . . . 5  |-  ( S  =/=  (/)  ->  ( A. p  e.  S  ( N  C_  X  /\  E. g  e.  J  (
p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  <-> 
( N  C_  X  /\  A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) ) ) )
873ad2ant3 983 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( A. p  e.  S  ( N  C_  X  /\  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  <-> 
( N  C_  X  /\  A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) ) ) )
9 ssrab2 3179 . . . . . . . . . 10  |-  { v  e.  J  |  v 
C_  N }  C_  J
10 uniopn 16475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { v  e.  J  | 
v  C_  N }  C_  J )  ->  U. {
v  e.  J  | 
v  C_  N }  e.  J )
119, 10mpan2 655 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  U. {
v  e.  J  | 
v  C_  N }  e.  J )
1211ad2antrr 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  ->  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N }  e.  J )
13 sseq1 3120 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  g  ->  (
v  C_  N  <->  g  C_  N ) )
1413elrab 2860 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  { v  e.  J  |  v  C_  N }  <->  ( g  e.  J  /\  g  C_  N ) )
15 elunii 3732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( p  e.  g  /\  g  e.  { v  e.  J  |  v  C_  N } )  ->  p  e.  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N } )
1614, 15sylan2br 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e.  g  /\  ( g  e.  J  /\  g  C_  N ) )  ->  p  e.  U. { v  e.  J  |  v  C_  N }
)
1716an12s 779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  e.  J  /\  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  ->  p  e.  U. { v  e.  J  |  v  C_  N }
)
1817rexlimiva 2624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N )  ->  p  e.  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N } )
1918ralimi 2580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. p  e.  S  E. g  e.  J  (
p  e.  g  /\  g  C_  N )  ->  A. p  e.  S  p  e.  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N } )
20 dfss3 3093 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
C_  U. { v  e.  J  |  v  C_  N }  <->  A. p  e.  S  p  e.  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N } )
2119, 20sylibr 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. p  e.  S  E. g  e.  J  (
p  e.  g  /\  g  C_  N )  ->  S  C_  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N } )
2221adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  ->  S  C_  U. {
v  e.  J  | 
v  C_  N }
)
23 unissb 3755 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { v  e.  J  |  v  C_  N }  C_  N  <->  A. h  e.  {
v  e.  J  | 
v  C_  N }
h  C_  N )
24 sseq1 3120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  h  ->  (
v  C_  N  <->  h  C_  N
) )
2524elrab 2860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  e.  { v  e.  J  |  v  C_  N }  <->  ( h  e.  J  /\  h  C_  N ) )
2625simprbi 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  e.  { v  e.  J  |  v  C_  N }  ->  h  C_  N )
2723, 26mprgbir 2575 . . . . . . . . 9  |-  U. {
v  e.  J  | 
v  C_  N }  C_  N
2822, 27jctir 526 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  ->  ( S  C_ 
U. { v  e.  J  |  v  C_  N }  /\  U. {
v  e.  J  | 
v  C_  N }  C_  N ) )
29 sseq2 3121 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N }  ->  ( S  C_  h  <->  S  C_  U. {
v  e.  J  | 
v  C_  N }
) )
30 sseq1 3120 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N }  ->  ( h  C_  N  <->  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N }  C_  N ) )
3129, 30anbi12d 694 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  U. { v  e.  J  |  v 
C_  N }  ->  ( ( S  C_  h  /\  h  C_  N )  <-> 
( S  C_  U. {
v  e.  J  | 
v  C_  N }  /\  U. { v  e.  J  |  v  C_  N }  C_  N ) ) )
3231rcla4ev 2821 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. { v  e.  J  |  v  C_  N }  e.  J  /\  ( S  C_  U. {
v  e.  J  | 
v  C_  N }  /\  U. { v  e.  J  |  v  C_  N }  C_  N ) )  ->  E. h  e.  J  ( S  C_  h  /\  h  C_  N ) )
3312, 28, 32syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  ->  E. h  e.  J  ( S  C_  h  /\  h  C_  N ) )
3433ex 425 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N )  ->  E. h  e.  J  ( S  C_  h  /\  h  C_  N ) ) )
3534anim2d 550 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( N  C_  X  /\  A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  -> 
( N  C_  X  /\  E. h  e.  J  ( S  C_  h  /\  h  C_  N ) ) ) )
36353adant3 980 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  (
( N  C_  X  /\  A. p  e.  S  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  ->  ( N  C_  X  /\  E. h  e.  J  ( S  C_  h  /\  h  C_  N ) ) ) )
378, 36sylbid 208 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( A. p  e.  S  ( N  C_  X  /\  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) )  ->  ( N  C_  X  /\  E. h  e.  J  ( S  C_  h  /\  h  C_  N
) ) ) )
38 ssel2 3098 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  X  /\  p  e.  S )  ->  p  e.  X )
39 neips.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
4039isneip 16674 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  p  e.  X )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } )  <->  ( N  C_  X  /\  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) ) ) )
4138, 40sylan2 462 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( S  C_  X  /\  p  e.  S )
)  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } )  <->  ( N  C_  X  /\  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) ) ) )
4241anassrs 632 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  p  e.  S
)  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } )  <->  ( N  C_  X  /\  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) ) ) )
4342ralbidva 2523 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A. p  e.  S  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } )  <->  A. p  e.  S  ( N  C_  X  /\  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) ) ) )
44433adant3 980 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( A. p  e.  S  N  e.  ( ( nei `  J ) `  { p } )  <->  A. p  e.  S  ( N  C_  X  /\  E. g  e.  J  ( p  e.  g  /\  g  C_  N ) ) ) )
4539isnei 16672 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( N  e.  ( ( nei `  J
) `  S )  <->  ( N  C_  X  /\  E. h  e.  J  ( S  C_  h  /\  h  C_  N ) ) ) )
46453adant3 980 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J ) `  S )  <->  ( N  C_  X  /\  E. h  e.  J  ( S  C_  h  /\  h  C_  N ) ) ) )
4737, 44, 463imtr4d 261 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( A. p  e.  S  N  e.  ( ( nei `  J ) `  { p } )  ->  N  e.  ( ( nei `  J
) `  S )
) )
486, 47impbid 185 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( N  e.  ( ( nei `  J ) `  S )  <->  A. p  e.  S  N  e.  ( ( nei `  J
) `  { p } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   A.wral 2509   E.wrex 2510   {crab 2512    C_ wss 3078   (/)c0 3362   {csn 3544   U.cuni 3727   ` cfv 4592   Topctop 16463   neicnei 16666
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-top 16468  df-nei 16667
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