Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neibl Unicode version

Theorem neibl 17879
 Description: The neighborhoods around a point of a metric space are those subsets containing a ball around . Definition of neighborhood in [Kreyszig] p. 19. (Contributed by NM, 8-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopni.1
Assertion
Ref Expression
neibl
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem neibl
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . . . 5
21mopntop 17818 . . . 4
41mopnuni 17819 . . . . 5
54eleq2d 2320 . . . 4
65biimpa 472 . . 3
7 eqid 2253 . . . 4
87isneip 16674 . . 3
93, 6, 8syl2anc 645 . 2
104sseq2d 3127 . . . 4
1211anbi1d 688 . 2
131mopni2 17871 . . . . . . . . 9
14 sstr2 3107 . . . . . . . . . . 11
1514com12 29 . . . . . . . . . 10
1615reximdv 2616 . . . . . . . . 9
1713, 16syl5com 28 . . . . . . . 8
18173exp 1155 . . . . . . 7
1918imp4a 575 . . . . . 6
2019ad2antrr 709 . . . . 5
2120rexlimdv 2628 . . . 4
22 rpxr 10240 . . . . . . . . 9
231blopn 17878 . . . . . . . . 9
2422, 23syl3an3 1222 . . . . . . . 8
25 blcntr 17796 . . . . . . . 8
26 eleq2 2314 . . . . . . . . . . 11
27 sseq1 3120 . . . . . . . . . . 11
2826, 27anbi12d 694 . . . . . . . . . 10
2928rcla4ev 2821 . . . . . . . . 9
3029expr 601 . . . . . . . 8
3124, 25, 30syl2anc 645 . . . . . . 7
32313expia 1158 . . . . . 6
3332rexlimdv 2628 . . . . 5
3433adantr 453 . . . 4
3521, 34impbid 185 . . 3
3635pm5.32da 625 . 2
379, 12, 363bitr2d 274 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   wa 360   w3a 939   wceq 1619   wcel 1621  wrex 2510   wss 3078  csn 3544  cuni 3727  cfv 4592  (class class class)co 5710  cxr 8746  crp 10233  cxmt 16201  cbl 16203  cmopn 16204  ctop 16463  cnei 16666 This theorem is referenced by:  reperflem  18155 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-sup 7078  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-topgen 13218  df-xmet 16205  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-nei 16667
 Copyright terms: Public domain W3C validator