Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpresrename Unicode version

Theorem mzpresrename 26697
Description: A polynomial is a polynomial over all larger index sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
mzpresrename  |-  ( ( W  e.  _V  /\  V  C_  W  /\  F  e.  (mzPoly `  V )
)  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( F `  ( x  |`  V ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
Distinct variable groups:    x, W    x, F    x, V

Proof of Theorem mzpresrename
StepHypRef Expression
1 coires1 5346 . . . 4  |-  ( x  o.  (  _I  |`  V ) )  =  ( x  |`  V )
21fveq2i 5690 . . 3  |-  ( F `
 ( x  o.  (  _I  |`  V ) ) )  =  ( F `  ( x  |`  V ) )
32mpteq2i 4252 . 2  |-  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W )  |->  ( F `
 ( x  o.  (  _I  |`  V ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W ) 
|->  ( F `  (
x  |`  V ) ) )
4 simp1 957 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  V  C_  W  /\  F  e.  (mzPoly `  V )
)  ->  W  e.  _V )
5 simp3 959 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  V  C_  W  /\  F  e.  (mzPoly `  V )
)  ->  F  e.  (mzPoly `  V ) )
6 f1oi 5672 . . . . . 6  |-  (  _I  |`  V ) : V -1-1-onto-> V
7 f1of 5633 . . . . . 6  |-  ( (  _I  |`  V ) : V -1-1-onto-> V  ->  (  _I  |`  V ) : V --> V )
86, 7ax-mp 8 . . . . 5  |-  (  _I  |`  V ) : V --> V
9 fss 5558 . . . . 5  |-  ( ( (  _I  |`  V ) : V --> V  /\  V  C_  W )  -> 
(  _I  |`  V ) : V --> W )
108, 9mpan 652 . . . 4  |-  ( V 
C_  W  ->  (  _I  |`  V ) : V --> W )
11103ad2ant2 979 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  V  C_  W  /\  F  e.  (mzPoly `  V )
)  ->  (  _I  |`  V ) : V --> W )
12 mzprename 26696 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  F  e.  (mzPoly `  V
)  /\  (  _I  |`  V ) : V --> W )  ->  (
x  e.  ( ZZ 
^m  W )  |->  ( F `  ( x  o.  (  _I  |`  V ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W )
)
134, 5, 11, 12syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( W  e.  _V  /\  V  C_  W  /\  F  e.  (mzPoly `  V )
)  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( F `  ( x  o.  (  _I  |`  V ) ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
143, 13syl5eqelr 2489 1  |-  ( ( W  e.  _V  /\  V  C_  W  /\  F  e.  (mzPoly `  V )
)  ->  ( x  e.  ( ZZ  ^m  W
)  |->  ( F `  ( x  |`  V ) ) )  e.  (mzPoly `  W ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    C_ wss 3280    e. cmpt 4226    _I cid 4453    |` cres 4839    o. ccom 4841   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^m cmap 6977   ZZcz 10238  mzPolycmzp 26669
This theorem is referenced by:  mzpcompact2lem  26698  diophin  26721  rabdiophlem2  26752
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-mzpcl 26670  df-mzp 26671
  Copyright terms: Public domain W3C validator