Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulog2sumlem1 Unicode version

Theorem mulog2sumlem1 20515
 Description: Asymptotic formula for , with explicit constants. Equation 10.2.7 of [Shapiro], p. 407. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
logdivsum.1
mulog2sumlem.1
mulog2sumlem1.2
mulog2sumlem1.3
Assertion
Ref Expression
mulog2sumlem1
Distinct variable groups:   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem mulog2sumlem1
StepHypRef Expression
1 fzfid 10913 . . . . . 6
2 mulog2sumlem1.2 . . . . . . . . 9
3 elfznn 10697 . . . . . . . . . 10
43nnrpd 10268 . . . . . . . . 9
5 rpdivcl 10255 . . . . . . . . 9
62, 4, 5syl2an 465 . . . . . . . 8
76relogcld 19806 . . . . . . 7
83adantl 454 . . . . . . 7
97, 8nndivred 9674 . . . . . 6
101, 9fsumrecl 12084 . . . . 5
112relogcld 19806 . . . . . . . 8
1211resqcld 11149 . . . . . . 7
1312rehalfcld 9837 . . . . . 6
14 emre 20131 . . . . . . . 8
15 remulcl 8702 . . . . . . . 8
1614, 11, 15sylancr 647 . . . . . . 7
17 rpsup 10848 . . . . . . . . 9
1817a1i 12 . . . . . . . 8
19 logdivsum.1 . . . . . . . . . . . . 13
2019logdivsum 20514 . . . . . . . . . . . 12
2120simp1i 969 . . . . . . . . . . 11
2221a1i 12 . . . . . . . . . 10
2322feqmptd 5427 . . . . . . . . 9
24 mulog2sumlem.1 . . . . . . . . 9
2523, 24eqbrtrrd 3942 . . . . . . . 8
2621ffvelrni 5516 . . . . . . . . 9
2726adantl 454 . . . . . . . 8
2818, 25, 27rlimrecl 11931 . . . . . . 7
2916, 28resubcld 9091 . . . . . 6
3013, 29readdcld 8742 . . . . 5
3110, 30resubcld 9091 . . . 4
3231recnd 8741 . . 3
3332abscld 11795 . 2
34 rerpdivcl 10260 . . . . . . . 8
3511, 4, 34syl2an 465 . . . . . . 7
3635recnd 8741 . . . . . 6
371, 36fsumcl 12083 . . . . 5
3811recnd 8741 . . . . . 6
39 readdcl 8700 . . . . . . . 8
4011, 14, 39sylancl 646 . . . . . . 7
4140recnd 8741 . . . . . 6
4238, 41mulcld 8735 . . . . 5
4337, 42subcld 9037 . . . 4
4443abscld 11795 . . 3
458nnrpd 10268 . . . . . . . . 9
4645relogcld 19806 . . . . . . . 8
4746, 8nndivred 9674 . . . . . . 7
4847recnd 8741 . . . . . 6
491, 48fsumcl 12083 . . . . 5
5013recnd 8741 . . . . . 6
5128recnd 8741 . . . . . 6
5250, 51addcld 8734 . . . . 5
5349, 52subcld 9037 . . . 4
5453abscld 11795 . . 3
56 2re 9695 . . 3
5711, 2rerpdivcld 10296 . . 3
58 remulcl 8702 . . 3
5956, 57, 58sylancr 647 . 2
60 relogdiv 19778 . . . . . . . . . . 11
612, 4, 60syl2an 465 . . . . . . . . . 10
6261oveq1d 5725 . . . . . . . . 9
6338adantr 453 . . . . . . . . . 10
6446recnd 8741 . . . . . . . . . 10
6545rpcnne0d 10278 . . . . . . . . . 10
66 divsubdir 9336 . . . . . . . . . 10
6763, 64, 65, 66syl3anc 1187 . . . . . . . . 9
6862, 67eqtrd 2285 . . . . . . . 8
6968sumeq2dv 12053 . . . . . . 7
701, 36, 48fsumsub 12127 . . . . . . 7
7169, 70eqtrd 2285 . . . . . 6
72 remulcl 8702 . . . . . . . . . . . . 13
7311, 14, 72sylancl 646 . . . . . . . . . . . 12
7413, 73readdcld 8742 . . . . . . . . . . 11
7574recnd 8741 . . . . . . . . . 10
7675, 50pncand 9038 . . . . . . . . 9
7714recni 8729 . . . . . . . . . . . . 13
7877a1i 12 . . . . . . . . . . . 12
7938, 38, 78adddid 8739 . . . . . . . . . . 11
8012recnd 8741 . . . . . . . . . . . . . 14
81802halvesd 9836 . . . . . . . . . . . . 13
8238sqvald 11120 . . . . . . . . . . . . 13
8381, 82eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . 12
8483oveq1d 5725 . . . . . . . . . . 11
8573recnd 8741 . . . . . . . . . . . 12
8650, 50, 85add32d 8914 . . . . . . . . . . 11
8779, 84, 863eqtr2d 2291 . . . . . . . . . 10
8887oveq1d 5725 . . . . . . . . 9
89 mulcom 8703 . . . . . . . . . . 11
9077, 38, 89sylancr 647 . . . . . . . . . 10
9190oveq2d 5726 . . . . . . . . 9
9276, 88, 913eqtr4rd 2296 . . . . . . . 8
9392oveq1d 5725 . . . . . . 7
9490, 85eqeltrd 2327 . . . . . . . 8
9550, 94, 51addsubassd 9057 . . . . . . 7
9642, 50, 51subsub4d 9068 . . . . . . 7
9793, 95, 963eqtr3d 2293 . . . . . 6
9871, 97oveq12d 5728 . . . . 5
9937, 49, 42, 52sub4d 9086 . . . . 5
10098, 99eqtrd 2285 . . . 4
101100fveq2d 5381 . . 3
10243, 53abs2dif2d 11817 . . 3
103101, 102eqbrtrd 3940 . 2
104 harmonicbnd4 20136 . . . . . . 7
1052, 104syl 17 . . . . . 6
1068nnrecred 9671 . . . . . . . . . . 11
1071, 106fsumrecl 12084 . . . . . . . . . 10
108107, 40resubcld 9091 . . . . . . . . 9
109108recnd 8741 . . . . . . . 8
110109abscld 11795 . . . . . . 7
1112rprecred 10280 . . . . . . 7
112 0re 8718 . . . . . . . . 9
113112a1i 12 . . . . . . . 8
114 1re 8717 . . . . . . . . 9
115114a1i 12 . . . . . . . 8
116 0lt1 9176 . . . . . . . . 9
117116a1i 12 . . . . . . . 8
118 loge 19772 . . . . . . . . 9
119 mulog2sumlem1.3 . . . . . . . . . 10
120 epr 12360 . . . . . . . . . . 11
121 logleb 19789 . . . . . . . . . . 11
122120, 2, 121sylancr 647 . . . . . . . . . 10
123119, 122mpbid 203 . . . . . . . . 9
124118, 123syl5eqbrr 3954 . . . . . . . 8
125113, 115, 11, 117, 124ltletrd 8856 . . . . . . 7
126 lemul2 9489 . . . . . . 7
127110, 111, 11, 125, 126syl112anc 1191 . . . . . 6
128105, 127mpbid 203 . . . . 5
12945rpcnd 10271 . . . . . . . . . . . 12
13045rpne0d 10274 . . . . . . . . . . . 12
13163, 129, 130divrecd 9419 . . . . . . . . . . 11
132131sumeq2dv 12053 . . . . . . . . . 10
133106recnd 8741 . . . . . . . . . . 11
1341, 38, 133fsummulc2 12123 . . . . . . . . . 10
135132, 134eqtr4d 2288 . . . . . . . . 9
136135oveq1d 5725 . . . . . . . 8
1371, 133fsumcl 12083 . . . . . . . . 9
13838, 137, 41subdid 9115 . . . . . . . 8
139136, 138eqtr4d 2288 . . . . . . 7
140139fveq2d 5381 . . . . . 6
141137, 41subcld 9037 . . . . . . 7
14238, 141absmuld 11813 . . . . . 6
143113, 11, 125ltled 8847 . . . . . . . 8
14411, 143absidd 11782 . . . . . . 7
145144oveq1d 5725 . . . . . 6
146140, 142, 1453eqtrd 2289 . . . . 5
1472rpcnd 10271 . . . . . 6
1482rpne0d 10274 . . . . . 6
14938, 147, 148divrecd 9419 . . . . 5
150128, 146, 1493brtr4d 3950 . . . 4
151 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . 14
152 id 21 . . . . . . . . . . . . . 14
153151, 152oveq12d 5728 . . . . . . . . . . . . 13
154153cbvsumv 12046 . . . . . . . . . . . 12
155 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . 14
156155oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . 13
157156sumeq1d 12051 . . . . . . . . . . . 12
158154, 157syl5eq 2297 . . . . . . . . . . 11
159 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . 13
160159oveq1d 5725 . . . . . . . . . . . 12
161160oveq1d 5725 . . . . . . . . . . 11
162158, 161oveq12d 5728 . . . . . . . . . 10
163 ovex 5735 . . . . . . . . . 10
164162, 19, 163fvmpt 5454 . . . . . . . . 9
1652, 164syl 17 . . . . . . . 8
166165oveq1d 5725 . . . . . . 7
16749, 50, 51subsub4d 9068 . . . . . . 7
168166, 167eqtrd 2285 . . . . . 6
169168fveq2d 5381 . . . . 5
17020simp3i 971 . . . . . 6
17124, 2, 119, 170syl3anc 1187 . . . . 5
172169, 171eqbrtrrd 3942 . . . 4
17344, 54, 57, 57, 150, 172le2addd 9270 . . 3
17457recnd 8741 . . . 4
1751742timesd 9833 . . 3
176173, 175breqtrrd 3946 . 2
17733, 55, 59, 103, 176letrd 8853 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   wa 360   w3a 939   wceq 1619   wcel 1621   wne 2412   class class class wbr 3920   cmpt 3974   cdm 4580  wf 4588  cfv 4592  (class class class)co 5710  csup 7077  cc 8615  cr 8616  cc0 8617  c1 8618   caddc 8620   cmul 8622   cpnf 8744  cxr 8746   clt 8747   cle 8748   cmin 8917   cdiv 9303  cn 9626  c2 9675  crp 10233  cfz 10660  cfl 10802  cexp 10982  cabs 11596   crli 11836  csu 12035  ceu 12218  clog 19744  cem 20118 This theorem is referenced by:  mulog2sumlem2  20516 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-pm 6661  df-ixp 6704  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ioo 10538  df-ioc 10539  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-mod 10852  df-seq 10925  df-exp 10983  df-fac 11167  df-bc 11194  df-hash 11216  df-shft 11439  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-limsup 11822  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-sum 12036  df-ef 12223  df-e 12224  df-sin 12225  df-cos 12226  df-pi 12228  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-hom 13106  df-cco 13107  df-rest 13201  df-topn 13202  df-topgen 13218  df-pt 13219  df-prds 13222  df-xrs 13277  df-0g 13278  df-gsum 13279  df-qtop 13284  df-imas 13285  df-xps 13287  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-mulg 14327  df-cntz 14628  df-cmn 14926  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-cnfld 16210  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-nei 16667  df-lp 16700  df-perf 16701  df-cn 16789  df-cnp 16790  df-haus 16875  df-cmp 16946  df-tx 17089  df-hmeo 17278  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467  df-xms 17717  df-ms 17718  df-tms 17719  df-cncf 18214  df-limc 19048  df-dv 19049  df-log 19746  df-cxp 19747  df-em 20119
 Copyright terms: Public domain W3C validator