MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulog2sum Unicode version

Theorem mulog2sum 20518
Description: Asymptotic formula for  sum_ n  <_  x ,  ( mmu ( n )  /  n ) log ^
2 ( x  /  n )  =  2 log x  +  O
( 1 ). Equation 10.2.8 of [Shapiro], p. 407. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mulog2sum  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O ( 1 )
Distinct variable group:    x, n

Proof of Theorem mulog2sum
StepHypRef Expression
1 eqid 2253 . . . 4  |-  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( ( log `  m )  /  m )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  /  2 ) ) )  =  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( ( log `  m )  /  m )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  /  2 ) ) )
21logdivsum 20514 . . 3  |-  ( ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( ( log `  m )  /  m )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  /  2 ) ) ) : RR+ --> RR 
/\  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( ( log `  m
)  /  m )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )  e.  dom  ~~> r  /\  ( ( ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( ( log `  m )  /  m )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  /  2 ) ) )  ~~> r  1  /\  1  e.  RR+  /\  _e  <_  1 )  ->  ( abs `  (
( ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( ( log `  m
)  /  m )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  / 
2 ) ) ) `
 1 )  - 
1 ) )  <_ 
( ( log `  1
)  /  1 ) ) )
32simp2i 970 . 2  |-  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( ( log `  m )  /  m )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  /  2 ) ) )  e.  dom  ~~> r
4 eldmg 4781 . . 3  |-  ( ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( ( log `  m )  /  m )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  /  2 ) ) )  e.  dom  ~~> r  ->  ( ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( ( log `  m )  /  m )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  /  2 ) ) )  e.  dom  ~~> r  <->  E. z ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( ( log `  m
)  /  m )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )  ~~> r  z ) )
54ibi 234 . 2  |-  ( ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( ( log `  m )  /  m )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  /  2 ) ) )  e.  dom  ~~> r  ->  E. z ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( ( log `  m )  /  m )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  /  2 ) ) )  ~~> r  z )
6 id 21 . . . 4  |-  ( ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( ( log `  m )  /  m )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  /  2 ) ) )  ~~> r  z  ->  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( ( log `  m
)  /  m )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )  ~~> r  z )
71, 6mulog2sumlem3 20517 . . 3  |-  ( ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y
) ) ( ( log `  m )  /  m )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  /  2 ) ) )  ~~> r  z  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( ( log `  ( x  /  n ) ) ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( log `  x
) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
87exlimiv 2023 . 2  |-  ( E. z ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( ( log `  m
)  /  m )  -  ( ( ( log `  y ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )  ~~> r  z  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
93, 5, 8mp2b 11 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( ( log `  ( x  /  n
) ) ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  O ( 1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ w3a 939   E.wex 1537    e. wcel 1621   class class class wbr 3920    e. cmpt 3974   dom cdm 4580   -->wf 4588   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   RRcr 8616   1c1 8618    x. cmul 8622    <_ cle 8748    - cmin 8917    / cdiv 9303   2c2 9675   RR+crp 10233   ...cfz 10660   |_cfl 10802   ^cexp 10982   abscabs 11596    ~~> r crli 11836   O (
1 )co1 11837   sum_csu 12035   _eceu 12218   logclog 19744   mmucmu 20164
This theorem is referenced by:  selberglem1  20526
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-disj 3892  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-pm 6661  df-ixp 6704  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ioo 10538  df-ioc 10539  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-mod 10852  df-seq 10925  df-exp 10983  df-fac 11167  df-bc 11194  df-hash 11216  df-shft 11439  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-limsup 11822  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-o1 11841  df-lo1 11842  df-sum 12036  df-ef 12223  df-e 12224  df-sin 12225  df-cos 12226  df-pi 12228  df-divides 12406  df-gcd 12560  df-prime 12633  df-pc 12764  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-hom 13106  df-cco 13107  df-rest 13201  df-topn 13202  df-topgen 13218  df-pt 13219  df-prds 13222  df-xrs 13277  df-0g 13278  df-gsum 13279  df-qtop 13284  df-imas 13285  df-xps 13287  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-mulg 14327  df-cntz 14628  df-cmn 14926  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-cnfld 16210  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-nei 16667  df-lp 16700  df-perf 16701  df-cn 16789  df-cnp 16790  df-haus 16875  df-cmp 16946  df-tx 17089  df-hmeo 17278  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467  df-xms 17717  df-ms 17718  df-tms 17719  df-cncf 18214  df-limc 19048  df-dv 19049  df-log 19746  df-cxp 19747  df-em 20119  df-mu 20170
  Copyright terms: Public domain W3C validator