MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulge0d Unicode version

Theorem mulge0d 9559
Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
addge0d.3  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
addge0d.4  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
Assertion
Ref Expression
mulge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )

Proof of Theorem mulge0d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 addge0d.3 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3 ltnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 addge0d.4 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
5 mulge0 9501 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1185 1  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946    x. cmul 8951    <_ cle 9077
This theorem is referenced by:  supmul1  9929  faclbnd6  11545  sqrmul  12020  sqreulem  12118  climcnds  12586  nmoi  18715  nmoleub2lem3  19076  ipcau2  19144  itg1ge0  19531  itg1ge0a  19556  itgmulc2lem1  19676  bddmulibl  19683  dvlip  19830  dvfsumlem4  19866  dvfsum2  19871  plyeq0lem  20082  radcnvlem1  20282  dvradcnv  20290  cxpsqrlem  20546  abscxpbnd  20590  asinlem3  20664  vmadivsum  21129  rpvmasumlem  21134  dchrisumlem2  21137  dchrisum0flblem2  21156  dchrisum0re  21160  mulog2sumlem2  21182  vmalogdivsum2  21185  2vmadivsumlem  21187  selbergb  21196  selberg2lem  21197  selberg2b  21199  chpdifbndlem1  21200  selberg3lem2  21205  selberg4lem1  21207  pntrlog2bndlem1  21224  pntrlog2bndlem2  21225  pntrlog2bndlem4  21227  pntrlog2bndlem6  21230  pntrlog2bnd  21231  pntlemn  21247  ostth2lem3  21282  branmfn  23561  brbtwn2  25748  colinearalglem4  25752  ax5seglem3  25774  iblmulc2nc  26169  itgmulc2nclem1  26170  trirn  26347  geomcau  26355  rrnequiv  26434  pellexlem2  26783  pellexlem6  26787  pell1qrge1  26823  rmxypos  26902  ltrmxnn0  26904  fmul01  27577  stoweidlem1  27617  stoweidlem16  27632  stoweidlem26  27642  stoweidlem38  27654  wallispilem4  27684  wallispi  27686  wallispi2lem1  27687  stirlinglem1  27690  stirlinglem5  27694  stirlinglem6  27695  stirlinglem7  27696  stirlinglem10  27699  stirlinglem11  27700  stirlinglem15  27704  stirlingr  27706
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082
  Copyright terms: Public domain W3C validator