Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcanpi Unicode version

Theorem mulcanpi 8404
 Description: Multiplication cancellation law for positive integers. (Contributed by NM, 4-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulcanpi

Proof of Theorem mulcanpi
StepHypRef Expression
1 mulclpi 8397 . . . . . . . . . 10
2 eleq1 2313 . . . . . . . . . 10
31, 2syl5ib 212 . . . . . . . . 9
43imp 420 . . . . . . . 8
5 dmmulpi 8395 . . . . . . . . 9
6 0npi 8386 . . . . . . . . 9
75, 6ndmovrcl 5858 . . . . . . . 8
8 simpr 449 . . . . . . . 8
94, 7, 83syl 20 . . . . . . 7
10 mulpiord 8389 . . . . . . . . . 10
1110adantr 453 . . . . . . . . 9
12 mulpiord 8389 . . . . . . . . . 10
1312adantlr 698 . . . . . . . . 9
1411, 13eqeq12d 2267 . . . . . . . 8
15 pinn 8382 . . . . . . . . . . . . 13
16 pinn 8382 . . . . . . . . . . . . 13
17 pinn 8382 . . . . . . . . . . . . 13
18 elni2 8381 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1918simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
20 nnmcan 6518 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2120biimpd 200 . . . . . . . . . . . . . . 15
2219, 21sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . 14
2322ex 425 . . . . . . . . . . . . 13
2415, 16, 17, 23syl3an 1229 . . . . . . . . . . . 12
25243exp 1155 . . . . . . . . . . 11
2625com4r 82 . . . . . . . . . 10
2726pm2.43i 45 . . . . . . . . 9
2827imp31 423 . . . . . . . 8
2914, 28sylbid 208 . . . . . . 7
309, 29sylan2 462 . . . . . 6
3130exp32 591 . . . . 5
3231imp4b 576 . . . 4
3332pm2.43i 45 . . 3
3433ex 425 . 2
35 oveq2 5718 . 2
3634, 35impbid1 196 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   wa 360   w3a 939   wceq 1619   wcel 1621  c0 3362  com 4547  (class class class)co 5710   comu 6363  cnpi 8346   cmi 8348 This theorem is referenced by:  enqer  8425  nqereu  8433  adderpqlem  8458  mulerpqlem  8459 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-ni 8376  df-mi 8378
 Copyright terms: Public domain W3C validator