Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcand Unicode version

Theorem mulcand 9281
 Description: Cancellation law for multiplication. Theorem I.7 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 26-Jan-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulcand.1
mulcand.2
mulcand.3
mulcand.4
Assertion
Ref Expression
mulcand

Proof of Theorem mulcand
StepHypRef Expression
1 mulcand.3 . . . 4
2 mulcand.4 . . . 4
3 recex 9280 . . . 4
41, 2, 3syl2anc 645 . . 3
5 oveq2 5718 . . . . . 6
6 simprl 735 . . . . . . . . . . 11
71adantr 453 . . . . . . . . . . 11
86, 7mulcomd 8736 . . . . . . . . . 10
9 simprr 736 . . . . . . . . . 10
108, 9eqtrd 2285 . . . . . . . . 9
1110oveq1d 5725 . . . . . . . 8
12 mulcand.1 . . . . . . . . . 10
1312adantr 453 . . . . . . . . 9
146, 7, 13mulassd 8738 . . . . . . . 8
1513mulid2d 8733 . . . . . . . 8
1611, 14, 153eqtr3d 2293 . . . . . . 7
1710oveq1d 5725 . . . . . . . 8
18 mulcand.2 . . . . . . . . . 10
1918adantr 453 . . . . . . . . 9
206, 7, 19mulassd 8738 . . . . . . . 8
2119mulid2d 8733 . . . . . . . 8
2217, 20, 213eqtr3d 2293 . . . . . . 7
2316, 22eqeq12d 2267 . . . . . 6
245, 23syl5ib 212 . . . . 5
2524expr 601 . . . 4
2625rexlimdva 2629 . . 3
274, 26mpd 16 . 2
28 oveq2 5718 . 2
2927, 28impbid1 196 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   wa 360   wceq 1619   wcel 1621   wne 2412  wrex 2510  (class class class)co 5710  cc 8615  cc0 8617  c1 8618   cmul 8622 This theorem is referenced by:  mulcan2d  9282  mulcanad  9283  mulcan  9285  div11  9330  eqneg  9360  qredeq  12659  qredeu  12660  gexexlem  14979  prmirredlem  16278  tanarg  19802  quad2  19967  dcubic  19974  atandm2  20005  dvdsmulf1o  20266  dchrsum2  20339  sumdchr2  20341  lgseisenlem2  20421  2sqlem8  20443  ipasslem4  21242  ax5seg  23740  2wsms  24774  pell1234qrreccl  26105  pell14qrdich  26120  rmxyneg  26171 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-iota 6143  df-riota 6190  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920
 Copyright terms: Public domain W3C validator