MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul01d Unicode version

Theorem mul01d 8891
Description: Multiplication by  0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
muld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
mul01d  |-  ( ph  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )

Proof of Theorem mul01d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mul01 8871 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )
31, 2syl 17 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621  (class class class)co 5710   CCcc 8615   0cc0 8617    x. cmul 8622
This theorem is referenced by:  mulge0  9171  mul0or  9288  diveq0  9314  div0  9332  lemul1a  9490  un0mulcl  9877  rexmul  10469  modid  10871  expmul  11025  sqlecan  11087  discr  11116  hashf1lem2  11271  hashf1  11272  fsummulc2  12123  geolim  12200  geomulcvg  12206  0dvds  12423  smumullem  12557  bezoutlem1  12591  mulgcddvds  12657  prmdiv  12727  pcaddlem  12810  qexpz  12823  prmreclem4  12840  prmreclem5  12841  mulgnn0ass  14431  odadd2  14976  isabvd  15420  nmolb2d  18059  nmoleub  18072  reparphti  18327  pcorevlem  18356  itg1val2  18871  i1fmullem  18881  itg1addlem4  18886  itg10a  18897  itg1ge0a  18898  itg2const  18927  itg2monolem1  18937  itg0  18966  itgz  18967  iblmulc2  19017  itgmulc2lem1  19018  bddmulibl  19025  dvcnp2  19101  dvcobr  19127  dvlip  19172  dvlipcn  19173  c1lip1  19176  dvlt0  19184  plymullem1  19428  coefv0  19461  coemullem  19463  coemulhi  19467  dgrmulc  19484  dgrcolem2  19487  dvply1  19496  plydivlem3  19507  elqaalem2  19532  elqaalem3  19533  tayl0  19573  dvtaylp  19581  radcnv0  19624  dvradcnv  19629  pserdvlem2  19636  abelthlem2  19640  pilem2  19660  sinmpi  19687  cosmpi  19688  sinppi  19689  cosppi  19690  tanregt0  19733  argregt0  19796  argrege0  19797  argimgt0  19798  logtayl  19839  pythag  19859  mulcxplem  19899  mulcxp  19900  cxpmul2  19904  quad2  19967  dcubic  19974  atans2  20059  mumul  20251  logexprlim  20296  dchrsum2  20339  sumdchr2  20341  lgsdilem  20393  lgsdirnn0  20410  lgsdinn0  20411  lgsquad3  20432  rpvmasumlem  20468  dchrisumlem1  20470  dchrvmasumiflem2  20483  rpvmasum2  20493  dchrisum0re  20494  pntrlog2bndlem4  20561  pntlemf  20586  pntleml  20592  ostth2lem2  20615  ostth3  20619  gxnn0mul  20774  nmlnoubi  21204  ipasslem2  21240  cdj3lem1  22844  zetacvg  22860  colinearalg  23712  geomcau  25641  bfp  25714  irrapxlem1  26073  pell1qr1  26122  pell1qrgaplem  26124  rmxy0  26174  jm2.18  26247  mpaaeu  26521
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-ltxr 8752
  Copyright terms: Public domain W3C validator