MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  msqgt0 Unicode version

Theorem msqgt0 9174
Description: A nonzero square is positive. Theorem I.20 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
msqgt0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =/=  0 )  -> 
0  <  ( A  x.  A ) )

Proof of Theorem msqgt0
StepHypRef Expression
1 id 21 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR )
2 0re 8718 . . . . 5  |-  0  e.  RR
32a1i 12 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  0  e.  RR )
41, 3lttri2d 8838 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  =/=  0  <->  ( A  <  0  \/  0  < 
A ) ) )
54biimpa 472 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =/=  0 )  -> 
( A  <  0  \/  0  <  A ) )
6 mullt0 9173 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  A  <  0 )  /\  ( A  e.  RR  /\  A  <  0 ) )  -> 
0  <  ( A  x.  A ) )
76anidms 629 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  0 )  -> 
0  <  ( A  x.  A ) )
8 mulgt0 8780 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )  -> 
0  <  ( A  x.  A ) )
98anidms 629 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
0  <  ( A  x.  A ) )
107, 9jaodan 763 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( A  <  0  \/  0  <  A ) )  ->  0  <  ( A  x.  A ) )
115, 10syldan 458 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =/=  0 )  -> 
0  <  ( A  x.  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    \/ wo 359    /\ wa 360    e. wcel 1621    =/= wne 2412   class class class wbr 3920  (class class class)co 5710   RRcr 8616   0cc0 8617    x. cmul 8622    < clt 8747
This theorem is referenced by:  msqge0  9175  0lt1  9176  msqgt0i  9190  msqgt0d  9220  recextlem2  9279  inelr  9616  msqznn  9972  sqgt0  11050
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-iota 6143  df-riota 6190  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920
  Copyright terms: Public domain W3C validator