MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnfnre Unicode version

Theorem mnfnre 9084
Description: Minus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
mnfnre  |-  -oo  e/  RR

Proof of Theorem mnfnre
StepHypRef Expression
1 2pwuninel 7221 . . . 4  |-  -.  ~P ~P U. CC  e.  CC
2 df-mnf 9079 . . . . . 6  |-  -oo  =  ~P  +oo
3 df-pnf 9078 . . . . . . 7  |-  +oo  =  ~P U. CC
43pweqi 3763 . . . . . 6  |-  ~P  +oo  =  ~P ~P U. CC
52, 4eqtri 2424 . . . . 5  |-  -oo  =  ~P ~P U. CC
65eleq1i 2467 . . . 4  |-  (  -oo  e.  CC  <->  ~P ~P U. CC  e.  CC )
71, 6mtbir 291 . . 3  |-  -.  -oo  e.  CC
8 recn 9036 . . 3  |-  (  -oo  e.  RR  ->  -oo  e.  CC )
97, 8mto 169 . 2  |-  -.  -oo  e.  RR
10 df-nel 2570 . 2  |-  (  -oo  e/  RR  <->  -.  -oo  e.  RR )
119, 10mpbir 201 1  |-  -oo  e/  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1721    e/ wnel 2568   ~Pcpw 3759   U.cuni 3975   CCcc 8944   RRcr 8945    +oocpnf 9073    -oocmnf 9074
This theorem is referenced by:  renemnf  9089  ltxrlt  9102  xrltnr  10676  nltmnf  10682  hashnemnf  11583  mnfnei  17239  deg1nn0clb  19966
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079
  Copyright terms: Public domain W3C validator