Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem1 Unicode version

Theorem minveclem1 18620
 Description: Lemma for minvec 18632. The set of all distances from points of to are a nonempty set of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x
minvec.m
minvec.n
minvec.u
minvec.y
minvec.w s CMetSp
minvec.a
minvec.j
minvec.r
Assertion
Ref Expression
minveclem1
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem minveclem1
StepHypRef Expression
1 minvec.r . . 3
2 minvec.u . . . . . . . 8
3 cphngp 18441 . . . . . . . 8 NrmGrp
42, 3syl 17 . . . . . . 7 NrmGrp
54adantr 453 . . . . . 6 NrmGrp
6 cphlmod 18442 . . . . . . . . 9
72, 6syl 17 . . . . . . . 8
87adantr 453 . . . . . . 7
9 minvec.a . . . . . . . 8
109adantr 453 . . . . . . 7
11 minvec.y . . . . . . . . 9
12 minvec.x . . . . . . . . . 10
13 eqid 2253 . . . . . . . . . 10
1412, 13lssss 15529 . . . . . . . . 9
1511, 14syl 17 . . . . . . . 8
1615sselda 3103 . . . . . . 7
17 minvec.m . . . . . . . 8
1812, 17lmodvsubcl 15505 . . . . . . 7
198, 10, 16, 18syl3anc 1187 . . . . . 6
20 minvec.n . . . . . . 7
2112, 20nmcl 17969 . . . . . 6 NrmGrp
225, 19, 21syl2anc 645 . . . . 5
23 eqid 2253 . . . . 5
2422, 23fmptd 5536 . . . 4
25 frn 5252 . . . 4
2624, 25syl 17 . . 3
271, 26syl5eqss 3143 . 2
2813lssn0 15533 . . . 4
2911, 28syl 17 . . 3
301eqeq1i 2260 . . . . 5
31 dm0rn0 4802 . . . . 5
32 fvex 5391 . . . . . . 7
3332, 23dmmpti 5230 . . . . . 6
3433eqeq1i 2260 . . . . 5
3530, 31, 343bitr2i 266 . . . 4
3635necon3bii 2444 . . 3
3729, 36sylibr 205 . 2
3812, 20nmge0 17970 . . . . . 6 NrmGrp
395, 19, 38syl2anc 645 . . . . 5
4039ralrimiva 2588 . . . 4
4132rgenw 2572 . . . . 5
42 breq2 3924 . . . . . 6
4323, 42ralrnmpt 5521 . . . . 5
4441, 43ax-mp 10 . . . 4
4540, 44sylibr 205 . . 3
461raleqi 2692 . . 3
4745, 46sylibr 205 . 2
4827, 37, 473jca 1137 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   wa 360   w3a 939   wceq 1619   wcel 1621   wne 2412  wral 2509  cvv 2727   wss 3078  c0 3362   class class class wbr 3920   cmpt 3974   cdm 4580   crn 4581  wf 4588  cfv 4592  (class class class)co 5710  cr 8616  cc0 8617   cle 8748  cbs 13022   ↾s cress 13023  ctopn 13200  csg 14200  clmod 15462  clss 15524  cnm 17931  NrmGrpcngp 17932  ccph 18434  CMetSpccms 18586 This theorem is referenced by:  minveclem4c  18621  minveclem2  18622  minveclem3b  18624  minveclem4  18628  minveclem6  18630 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-sup 7078  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-topgen 13218  df-0g 13278  df-mnd 14202  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-sbg 14326  df-lmod 15464  df-lss 15525  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472  df-xms 17717  df-ms 17718  df-nm 17937  df-ngp 17938  df-nlm 17941  df-cph 18436
 Copyright terms: Public domain W3C validator