MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvec Unicode version

Theorem minvec 18632
Description: Minimizing vector theorem, or the Hilbert projection theorem. There is exactly one vector in a complete subspace  W that minimizes the distance to an arbitrary vector  A in a parent inner product space. Theorem 3.3-1 of [Kreyszig] p. 144, specialized to subspaces instead of convex subsets. (Contributed by NM, 11-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvec.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvec.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvec.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvec.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvec.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvec.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
Assertion
Ref Expression
minvec  |-  ( ph  ->  E! x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .-    x, A, y    x, N, y    ph, x, y    x, U, y    x, X, y   
x, Y, y

Proof of Theorem minvec
StepHypRef Expression
1 minvec.x . 2  |-  X  =  ( Base `  U
)
2 minvec.m . 2  |-  .-  =  ( -g `  U )
3 minvec.n . 2  |-  N  =  ( norm `  U
)
4 minvec.u . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
5 minvec.y . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
6 minvec.w . 2  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
7 minvec.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
8 eqid 2253 . 2  |-  ( TopOpen `  U )  =  (
TopOpen `  U )
9 oveq2 5718 . . . . 5  |-  ( j  =  y  ->  ( A  .-  j )  =  ( A  .-  y
) )
109fveq2d 5381 . . . 4  |-  ( j  =  y  ->  ( N `  ( A  .-  j ) )  =  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
1110cbvmptv 4008 . . 3  |-  ( j  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  j ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
1211rneqi 4812 . 2  |-  ran  ( 
j  e.  Y  |->  ( N `  ( A 
.-  j ) ) )  =  ran  ( 
y  e.  Y  |->  ( N `  ( A 
.-  y ) ) )
13 eqid 2253 . 2  |-  sup ( ran  (  j  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  j ) ) ) ,  RR ,  `'  <  )  =  sup ( ran  ( 
j  e.  Y  |->  ( N `  ( A 
.-  j ) ) ) ,  RR ,  `'  <  )
14 eqid 2253 . 2  |-  ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) )  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 13, 14minveclem7 18631 1  |-  ( ph  ->  E! x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   E!wreu 2511   class class class wbr 3920    e. cmpt 3974    X. cxp 4578   `'ccnv 4579   ran crn 4581    |` cres 4582   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   supcsup 7077   RRcr 8616    < clt 8747    <_ cle 8748   Basecbs 13022   ↾s cress 13023   distcds 13091   TopOpenctopn 13200   -gcsg 14200   LSubSpclss 15524   normcnm 17931   CPreHilccph 18434  CMetSpccms 18586
This theorem is referenced by:  pjthlem2  18634
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-tpos 6086  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-seq 10925  df-exp 10983  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-rest 13201  df-topgen 13218  df-0g 13278  df-mnd 14202  df-mhm 14250  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-sbg 14326  df-mulg 14327  df-subg 14453  df-ghm 14516  df-cmn 14926  df-abl 14927  df-mgp 15161  df-ring 15175  df-cring 15176  df-ur 15177  df-oppr 15240  df-dvdsr 15258  df-unit 15259  df-invr 15289  df-dvr 15300  df-rnghom 15331  df-drng 15349  df-subrg 15378  df-staf 15445  df-srng 15446  df-lmod 15464  df-lss 15525  df-lmhm 15614  df-lvec 15691  df-sra 15757  df-rgmod 15758  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-cnfld 16210  df-phl 16362  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-nei 16667  df-haus 16875  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-flim 17466  df-xms 17717  df-ms 17718  df-nm 17937  df-ngp 17938  df-nlm 17941  df-clm 18393  df-cph 18436  df-cfil 18513  df-cmet 18515  df-cms 18589
  Copyright terms: Public domain W3C validator