MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  meteq0 Unicode version

Theorem meteq0 17736
Description: The value of a metric is zero iff its arguments are equal. Property M2 of [Kreyszig] p. 4. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
meteq0  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A D B )  =  0  <->  A  =  B ) )

Proof of Theorem meteq0
StepHypRef Expression
1 metxmet 17731 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
2 xmeteq0 17735 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( ( A D B )  =  0  <->  A  =  B
) )
31, 2syl3an1 1220 1  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( A D B )  =  0  <->  A  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   0cc0 8617   * Metcxmt 16201   Metcme 16202
This theorem is referenced by:  minveclem7  18631  minvecolem7  21292  metf1o  25635  bfplem2  25713  bfp  25714
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-mulcl 8679  ax-i2m1 8685
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-xadd 10332  df-xmet 16205  df-met 16206
  Copyright terms: Public domain W3C validator