MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcld2 Unicode version

Theorem metcld2 18564
Description: A subset of a metric space is closed iff every convergent sequence on it converges to a point in the subset. Theorem 1.4-6(b) of [Kreyszig] p. 30. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
metcld.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metcld2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( ( ~~> t `  J ) " ( S  ^m  NN ) ) 
C_  S ) )

Proof of Theorem metcld2
StepHypRef Expression
1 metcld.2 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21metcld 18563 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  <->  A. x A. f
( ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) x )  ->  x  e.  S )
) )
3 19.23v 2021 . . . . 5  |-  ( A. f ( ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
)  <->  ( E. f
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
) )
4 vex 2730 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
54elima2 4925 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( ~~> t `  J ) " ( S  ^m  NN ) )  <->  E. f ( f  e.  ( S  ^m  NN )  /\  f ( ~~> t `  J ) x ) )
6 id 21 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
C_  X  ->  S  C_  X )
7 elfvdm 5407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  dom  * Met )
8 ssexg 4057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  C_  X  /\  X  e.  dom  * Met )  ->  S  e.  _V )
96, 7, 8syl2anr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  S  e.  _V )
10 nnex 9632 . . . . . . . . . 10  |-  NN  e.  _V
11 elmapg 6671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  _V  /\  NN  e.  _V )  -> 
( f  e.  ( S  ^m  NN )  <-> 
f : NN --> S ) )
129, 10, 11sylancl 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( f  e.  ( S  ^m  NN ) 
<->  f : NN --> S ) )
1312anbi1d 688 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( (
f  e.  ( S  ^m  NN )  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  <-> 
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x ) ) )
1413exbidv 2005 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( E. f ( f  e.  ( S  ^m  NN )  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  <->  E. f ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) x ) ) )
155, 14syl5rbb 251 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( E. f ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) x )  <->  x  e.  ( ( ~~> t `  J ) " ( S  ^m  NN ) ) ) )
1615imbi1d 310 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( ( E. f ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) x )  ->  x  e.  S )  <->  ( x  e.  ( ( ~~> t `  J )
" ( S  ^m  NN ) )  ->  x  e.  S ) ) )
173, 16syl5bb 250 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( A. f ( ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
)  <->  ( x  e.  ( ( ~~> t `  J ) " ( S  ^m  NN ) )  ->  x  e.  S
) ) )
1817albidv 2004 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( A. x A. f ( ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
)  <->  A. x ( x  e.  ( ( ~~> t `  J ) " ( S  ^m  NN ) )  ->  x  e.  S
) ) )
19 dfss2 3092 . . 3  |-  ( ( ( ~~> t `  J
) " ( S  ^m  NN ) ) 
C_  S  <->  A. x
( x  e.  ( ( ~~> t `  J
) " ( S  ^m  NN ) )  ->  x  e.  S
) )
2018, 19syl6bbr 256 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( A. x A. f ( ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
)  <->  ( ( ~~> t `  J ) " ( S  ^m  NN ) ) 
C_  S ) )
212, 20bitrd 246 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( ( ~~> t `  J ) " ( S  ^m  NN ) ) 
C_  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1532   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   _Vcvv 2727    C_ wss 3078   class class class wbr 3920   dom cdm 4580   "cima 4583   -->wf 4588   ` cfv 4592  (class class class)co 5710    ^m cmap 6658   NNcn 9626   * Metcxmt 16201   MetOpencmopn 16204   Clsdccld 16585   ~~> tclm 16788
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cc 7945  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-pm 6661  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-sup 7078  df-card 7456  df-acn 7459  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-fz 10661  df-topgen 13218  df-xmet 16205  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-lm 16791  df-1stc 16997
  Copyright terms: Public domain W3C validator