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Theorem mayete3i 22155
Description: Mayet's equation E3. Part of Theorem 4.1 of [Mayet3] p. 1223. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mayete3.a  |-  A  e. 
CH
mayete3.b  |-  B  e. 
CH
mayete3.c  |-  C  e. 
CH
mayete3.d  |-  D  e. 
CH
mayete3.f  |-  F  e. 
CH
mayete3.g  |-  G  e. 
CH
mayete3.ac  |-  A  C_  ( _|_ `  C )
mayete3.af  |-  A  C_  ( _|_ `  F )
mayete3.cf  |-  C  C_  ( _|_ `  F )
mayete3.ab  |-  A  C_  ( _|_ `  B )
mayete3.cd  |-  C  C_  ( _|_ `  D )
mayete3.fg  |-  F  C_  ( _|_ `  G )
mayete3.x  |-  X  =  ( ( A  vH  C )  vH  F
)
mayete3.y  |-  Y  =  ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  i^i  ( F  vH  G ) )
mayete3.z  |-  Z  =  ( ( B  vH  D )  vH  G
)
Assertion
Ref Expression
mayete3i  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Z

Proof of Theorem mayete3i
StepHypRef Expression
1 elin 3266 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  <->  ( x  e.  X  /\  x  e.  Y ) )
2 mayete3.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  e. 
CH
3 mayete3.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  e. 
CH
42, 3chjcli 21866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  vH  C )  e. 
CH
5 mayete3.f . . . . . . . . . . . 12  |-  F  e. 
CH
64, 5chjcli 21866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  vH  C )  vH  F )  e. 
CH
76cheli 21642 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  C )  vH  F )  ->  x  e.  ~H )
8 mayete3.x . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( ( A  vH  C )  vH  F
)
97, 8eleq2s 2345 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  ->  x  e.  ~H )
109adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  ~H )
111, 10sylbi 189 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  e.  ~H )
12 ax-hvmulid 21416 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
1  .h  x )  =  x )
13 2cn 9696 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
14 2ne0 9709 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
15 recid2 9319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  -> 
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  =  1 )
1613, 14, 15mp2an 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  2 )  =  1
1716oveq1i 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  2 )  .h  x )  =  ( 1  .h  x
)
1813, 14reccli 9370 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
19 ax-hvmulass 21417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2018, 13, 19mp3an12 1272 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2117, 20syl5eqr 2299 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
1  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2212, 21eqtr3d 2287 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  x  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2311, 22syl 17 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  =  ( ( 1  / 
2 )  .h  (
2  .h  x ) ) )
24 hv2times 21470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
2  .h  x )  =  ( x  +h  x ) )
2524oveq1d 5725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( 2  .h  x
)  +h  x )  =  ( ( x  +h  x )  +h  x ) )
2611, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
2  .h  x )  +h  x )  =  ( ( x  +h  x )  +h  x
) )
27 inss2 3297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Y
2827sseli 3099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  e.  Y )
29 mayete3.y . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Y  =  ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  i^i  ( F  vH  G ) )
3029elin2 3267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  Y  <->  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D ) )  /\  x  e.  ( F  vH  G ) ) )
31 elin 3266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  <->  ( x  e.  ( A  vH  B
)  /\  x  e.  ( C  vH  D ) ) )
32 mayete3.ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  A  C_  ( _|_ `  B )
33 mayete3.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  B  e. 
CH
342, 33pjdsi 22139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( A  vH  B )  /\  A  C_  ( _|_ `  B
) )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) ) )
3532, 34mpan2 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A  vH  B )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) ) )
36 mayete3.cd . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  C  C_  ( _|_ `  D )
37 mayete3.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  D  e. 
CH
383, 37pjdsi 22139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( C  vH  D )  /\  C  C_  ( _|_ `  D
) )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )
3936, 38mpan2 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( C  vH  D )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )
4035, 39oveqan12d 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( A  vH  B )  /\  x  e.  ( C  vH  D ) )  -> 
( x  +h  x
)  =  ( ( ( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj  h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) ) )
4131, 40sylbi 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  ->  (
x  +h  x )  =  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  C ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) ) ) )
42 inss1 3296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D ) )  C_  ( A  vH  B )
4342sseli 3099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  ->  x  e.  ( A  vH  B
) )
442, 33chjcli 21866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  vH  B )  e. 
CH
4544cheli 21642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A  vH  B )  ->  x  e.  ~H )
462pjhcli 21827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  A
) `  x )  e.  ~H )
4733pjhcli 21827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  B
) `  x )  e.  ~H )
483pjhcli 21827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  C
) `  x )  e.  ~H )
4937pjhcli 21827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  D
) `  x )  e.  ~H )
50 hvadd4 21445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  B ) `  x
)  e.  ~H )  /\  ( ( ( proj 
h `  C ) `  x )  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  D ) `  x
)  e.  ~H )
)  ->  ( (
( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj  h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) ) ) )
5146, 47, 48, 49, 50syl22anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  B
) `  x )
)  +h  ( ( ( proj  h `  C
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) ) ) )
5243, 45, 513syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  ->  (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  B
) `  x )
)  +h  ( ( ( proj  h `  C
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) ) ) )
5341, 52eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  ->  (
x  +h  x )  =  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) ) ) )
54 mayete3.fg . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F  C_  ( _|_ `  G )
55 mayete3.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  G  e. 
CH
565, 55pjdsi 22139 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( F  vH  G )  /\  F  C_  ( _|_ `  G
) )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  F ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) ) )
5754, 56mpan2 655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( F  vH  G )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  F ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) ) )
5853, 57oveqan12d 5729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D ) )  /\  x  e.  ( F  vH  G ) )  -> 
( ( x  +h  x )  +h  x
)  =  ( ( ( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( ( ( proj  h `  B
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj 
h `  F ) `  x )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) ) )
5930, 58sylbi 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  Y  ->  (
( x  +h  x
)  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj 
h `  F ) `  x )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) ) )
6028, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
x  +h  x )  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) ) )  +h  ( ( ( proj  h `  F
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) ) ) )
61 hvaddcl 21422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( proj  h `  A ) `  x
)  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  C ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  e.  ~H )
6246, 48, 61syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  C ) `
 x ) )  e.  ~H )
63 hvaddcl 21422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  D ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj 
h `  B ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  e.  ~H )
6447, 49, 63syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  e.  ~H )
655pjhcli 21827 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  F
) `  x )  e.  ~H )
6655pjhcli 21827 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  G
) `  x )  e.  ~H )
67 hvadd4 21445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  e.  ~H  /\  ( ( ( proj 
h `  B ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  e.  ~H )  /\  ( ( ( proj 
h `  F ) `  x )  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  G ) `  x
)  e.  ~H )
)  ->  ( (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( ( ( proj  h `  B
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj 
h `  F ) `  x )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )  =  ( ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) ) )
6862, 64, 65, 66, 67syl22anc 1188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) ) )  +h  ( ( ( proj  h `  F
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) ) )  =  ( ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) ) )
6911, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( ( ( proj  h `  B
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj 
h `  F ) `  x )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )  =  ( ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) ) )
7026, 60, 693eqtrd 2289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
2  .h  x )  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) ) )
71 inss1 3296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  i^i  Y )  C_  X
7271sseli 3099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  e.  X )
7372, 8syl6eleq 2343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  e.  ( ( A  vH  C )  vH  F
) )
74 mayete3.ac . . . . . . . . . . . 12  |-  A  C_  ( _|_ `  C )
75 mayete3.af . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  C_  ( _|_ `  F )
76 mayete3.cf . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  C_  ( _|_ `  F )
772, 3, 5pjds3i 22140 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  vH  C
)  vH  F )  /\  A  C_  ( _|_ `  C ) )  /\  ( A  C_  ( _|_ `  F )  /\  C  C_  ( _|_ `  F
) ) )  ->  x  =  ( (
( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  F ) `  x ) ) )
7875, 76, 77mpanr12 669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( ( A  vH  C )  vH  F )  /\  A  C_  ( _|_ `  C
) )  ->  x  =  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
) )
7973, 74, 78sylancl 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  =  ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
) )
8070, 79oveq12d 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( 2  .h  x
)  +h  x )  -h  x )  =  ( ( ( ( ( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  F ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )  -h  (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) ) ) )
81 hvmulcl 21423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( 2  .h  x
)  e.  ~H )
8213, 81mpan 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
2  .h  x )  e.  ~H )
83 hvpncan 21448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  .h  x
)  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( 2  .h  x )  +h  x )  -h  x
)  =  ( 2  .h  x ) )
8482, 83mpancom 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( 2  .h  x )  +h  x
)  -h  x )  =  ( 2  .h  x ) )
8511, 84syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( 2  .h  x
)  +h  x )  -h  x )  =  ( 2  .h  x
) )
8680, 85eqtr3d 2287 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) )  -h  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
) )  =  ( 2  .h  x ) )
87 hvaddcl 21422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  F ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  e.  ~H )
8862, 65, 87syl2anc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) )  e.  ~H )
89 hvaddcl 21422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  B ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  G ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  e.  ~H )
9064, 66, 89syl2anc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  B ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  G ) `
 x ) )  e.  ~H )
91 hvpncan2 21449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  e.  ~H  /\  ( ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( ( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  F ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )  -h  (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) )
9288, 90, 91syl2anc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) )  -h  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
) )  =  ( ( ( ( proj 
h `  B ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  G ) `
 x ) ) )
9311, 92syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) )  -h  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
) )  =  ( ( ( ( proj 
h `  B ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  G ) `
 x ) ) )
9486, 93eqtr3d 2287 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( 2  .h  x )  =  ( ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )
9533pjcli 21826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  B
) `  x )  e.  B )
9637pjcli 21826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  D
) `  x )  e.  D )
9733chshii 21637 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  e.  SH
9837chshii 21637 . . . . . . . . . . . 12  |-  D  e.  SH
9997, 98shsvai 21773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  e.  B  /\  ( ( proj  h `  D ) `  x
)  e.  D )  ->  ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) )  e.  ( B  +H  D ) )
10095, 96, 99syl2anc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  e.  ( B  +H  D ) )
10155pjcli 21826 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  G
) `  x )  e.  G )
10297, 98shscli 21726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  +H  D )  e.  SH
10355chshii 21637 . . . . . . . . . . 11  |-  G  e.  SH
104102, 103shsvai 21773 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  B ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  e.  ( B  +H  D )  /\  ( ( proj  h `  G ) `  x
)  e.  G )  ->  ( ( ( ( proj  h `  B
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G ) )
105100, 101, 104syl2anc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  B ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  G ) `
 x ) )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G ) )
10611, 105syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G
) )
10794, 106eqeltrd 2327 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( 2  .h  x )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G
) )
108102, 103shscli 21726 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  +H  D )  +H  G )  e.  SH
109 shmulcl 21627 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  +H  D )  +H  G
)  e.  SH  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( 2  .h  x
)  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G ) )  ->  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) )  e.  ( ( B  +H  D
)  +H  G ) )
110108, 18, 109mp3an12 1272 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  .h  x )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G )  ->  (
( 1  /  2
)  .h  ( 2  .h  x ) )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G ) )
111107, 110syl 17 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x ) )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G
) )
11223, 111eqeltrd 2327 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G
) )
113112ssriv 3105 . . . 4  |-  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( B  +H  D )  +H  G
)
11433, 37chsleji 21867 . . . . 5  |-  ( B  +H  D )  C_  ( B  vH  D )
11533, 37chjcli 21866 . . . . . . 7  |-  ( B  vH  D )  e. 
CH
116115chshii 21637 . . . . . 6  |-  ( B  vH  D )  e.  SH
117102, 116, 103shlessi 21786 . . . . 5  |-  ( ( B  +H  D ) 
C_  ( B  vH  D )  ->  (
( B  +H  D
)  +H  G ) 
C_  ( ( B  vH  D )  +H  G ) )
118114, 117ax-mp 10 . . . 4  |-  ( ( B  +H  D )  +H  G )  C_  ( ( B  vH  D )  +H  G
)
119113, 118sstri 3109 . . 3  |-  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( B  vH  D )  +H  G
)
120115, 55chsleji 21867 . . 3  |-  ( ( B  vH  D )  +H  G )  C_  ( ( B  vH  D )  vH  G
)
121119, 120sstri 3109 . 2  |-  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( B  vH  D )  vH  G
)
122 mayete3.z . 2  |-  Z  =  ( ( B  vH  D )  vH  G
)
123121, 122sseqtr4i 3132 1  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Z
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412    i^i cin 3077    C_ wss 3078   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   CCcc 8615   0cc0 8617   1c1 8618    x. cmul 8622    / cdiv 9303   2c2 9675   ~Hchil 21329    +h cva 21330    .h csm 21331    -h cmv 21335   SHcsh 21338   CHcch 21339   _|_cort 21340    +H cph 21341    vH chj 21343   proj 
hcpjh 21347
This theorem is referenced by:  mayetes3i  22157
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cc 7945  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697  ax-hilex 21409  ax-hfvadd 21410  ax-hvcom 21411  ax-hvass 21412  ax-hv0cl 21413  ax-hvaddid 21414  ax-hfvmul 21415  ax-hvmulid 21416  ax-hvmulass 21417  ax-hvdistr1 21418  ax-hvdistr2 21419  ax-hvmul0 21420  ax-hfi 21488  ax-his1 21491  ax-his2 21492  ax-his3 21493  ax-his4 21494  ax-hcompl 21611
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-map 6660  df-pm 6661  df-ixp 6704  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-acn 7459  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ioo 10538  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-seq 10925  df-exp 10983  df-hash 11216  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-sum 12036  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-hom 13106  df-cco 13107  df-rest 13201  df-topn 13202  df-topgen 13218  df-pt 13219  df-prds 13222  df-xrs 13277  df-0g 13278  df-gsum 13279  df-qtop 13284  df-imas 13285  df-xps 13287  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-mulg 14327  df-cntz 14628  df-cmn 14926  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-cnfld 16210  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-nei 16667  df-cn 16789  df-cnp 16790  df-lm 16791  df-haus 16875  df-tx 17089  df-hmeo 17278  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467  df-xms 17717  df-ms 17718  df-tms 17719  df-cfil 18513  df-cau 18514  df-cmet 18515  df-grpo 20688  df-gid 20689  df-ginv 20690  df-gdiv 20691  df-ablo 20779  df-subgo 20799  df-vc 20932  df-nv 20978  df-va 20981  df-ba 20982  df-sm 20983  df-0v 20984  df-vs 20985  df-nmcv 20986  df-ims 20987  df-dip 21104  df-ssp 21128  df-ph 21221  df-cbn 21272  df-hnorm 21378  df-hba 21379  df-hvsub 21381  df-hlim 21382  df-hcau 21383  df-sh 21616  df-ch 21631  df-oc 21661  df-ch0 21662  df-shs 21717  df-chj 21719  df-pjh 21804
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