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Theorem mapsn 6695
Description: The value of set exponentiation with a singleton exponent. Theorem 98 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)
Hypotheses
Ref Expression
map0.1  |-  A  e. 
_V
map0.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
mapsn  |-  ( A  ^m  { B }
)  =  { f  |  E. y  e.  A  f  =  { <. B ,  y >. } }
Distinct variable groups:    y, f, A    B, f, y

Proof of Theorem mapsn
StepHypRef Expression
1 map0.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
2 snex 4110 . . . 4  |-  { B }  e.  _V
31, 2elmap 6682 . . 3  |-  ( f  e.  ( A  ^m  { B } )  <->  f : { B } --> A )
4 ffn 5246 . . . . . . . 8  |-  ( f : { B } --> A  ->  f  Fn  { B } )
5 map0.2 . . . . . . . . 9  |-  B  e. 
_V
65snid 3571 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
{ B }
7 fneu 5205 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  Fn  { B }  /\  B  e.  { B } )  ->  E! y  B f y )
84, 6, 7sylancl 646 . . . . . . 7  |-  ( f : { B } --> A  ->  E! y  B f y )
9 euabsn 3603 . . . . . . . 8  |-  ( E! y  B f y  <->  E. y { y  |  B f y }  =  { y } )
10 frel 5249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : { B } --> A  ->  Rel  f )
11 relimasn 4943 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Rel  f  ->  ( f " { B } )  =  { y  |  B f y } )
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( f " { B } )  =  { y  |  B
f y } )
13 imadmrn 4931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f
" dom  f )  =  ran  f
14 fdm 5250 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : { B } --> A  ->  dom  f  =  { B } )
1514imaeq2d 4919 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( f " dom  f )  =  ( f " { B } ) )
1613, 15syl5reqr 2300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( f " { B } )  =  ran  f )
1712, 16eqtr3d 2287 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : { B } --> A  ->  { y  |  B f y }  =  ran  f )
1817eqeq1d 2261 . . . . . . . . 9  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( { y  |  B f y }  =  { y }  <->  ran  f  =  {
y } ) )
1918exbidv 2005 . . . . . . . 8  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( E. y { y  |  B
f y }  =  { y }  <->  E. y ran  f  =  {
y } ) )
209, 19syl5bb 250 . . . . . . 7  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( E! y  B f y  <->  E. y ran  f  =  {
y } ) )
218, 20mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( f : { B } --> A  ->  E. y ran  f  =  { y } )
22 vex 2730 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
2322snid 3571 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
{ y }
24 eleq2 2314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  f  =  { y }  ->  ( y  e.  ran  f  <->  y  e.  { y } ) )
2523, 24mpbiri 226 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  f  =  { y }  ->  y  e.  ran  f )
26 frn 5252 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : { B } --> A  ->  ran  f  C_  A )
2726sseld 3102 . . . . . . . . 9  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( y  e. 
ran  f  ->  y  e.  A ) )
2825, 27syl5 30 . . . . . . . 8  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( ran  f  =  { y }  ->  y  e.  A ) )
29 dffn4 5314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  Fn  { B }  <->  f : { B } -onto-> ran  f )
304, 29sylib 190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : { B } --> A  ->  f : { B } -onto-> ran  f )
31 fof 5308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : { B } -onto-> ran  f  ->  f : { B } --> ran  f
)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : { B } --> A  ->  f : { B } --> ran  f )
33 feq3 5234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  f  =  { y }  ->  ( f : { B } --> ran  f  <->  f : { B } --> { y } ) )
3432, 33syl5ibcom 213 . . . . . . . . 9  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( ran  f  =  { y }  ->  f : { B } --> { y } ) )
355, 22fsn 5548 . . . . . . . . 9  |-  ( f : { B } --> { y }  <->  f  =  { <. B ,  y
>. } )
3634, 35syl6ib 219 . . . . . . . 8  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( ran  f  =  { y }  ->  f  =  { <. B , 
y >. } ) )
3728, 36jcad 521 . . . . . . 7  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( ran  f  =  { y }  ->  ( y  e.  A  /\  f  =  { <. B , 
y >. } ) ) )
3837eximdv 2018 . . . . . 6  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( E. y ran  f  =  {
y }  ->  E. y
( y  e.  A  /\  f  =  { <. B ,  y >. } ) ) )
3921, 38mpd 16 . . . . 5  |-  ( f : { B } --> A  ->  E. y ( y  e.  A  /\  f  =  { <. B ,  y
>. } ) )
40 df-rex 2514 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  A  f  =  { <. B , 
y >. }  <->  E. y
( y  e.  A  /\  f  =  { <. B ,  y >. } ) )
4139, 40sylibr 205 . . . 4  |-  ( f : { B } --> A  ->  E. y  e.  A  f  =  { <. B , 
y >. } )
425, 22f1osn 5370 . . . . . . . . 9  |-  { <. B ,  y >. } : { B } -1-1-onto-> { y }
43 f1oeq1 5320 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  { <. B , 
y >. }  ->  (
f : { B }
-1-1-onto-> { y }  <->  { <. B , 
y >. } : { B } -1-1-onto-> { y } ) )
4442, 43mpbiri 226 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  { <. B , 
y >. }  ->  f : { B } -1-1-onto-> { y } )
45 f1of 5329 . . . . . . . 8  |-  ( f : { B } -1-1-onto-> {
y }  ->  f : { B } --> { y } )
4644, 45syl 17 . . . . . . 7  |-  ( f  =  { <. B , 
y >. }  ->  f : { B } --> { y } )
47 snssi 3659 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  { y }  C_  A )
48 fss 5254 . . . . . . 7  |-  ( ( f : { B }
--> { y }  /\  { y }  C_  A
)  ->  f : { B } --> A )
4946, 47, 48syl2an 465 . . . . . 6  |-  ( ( f  =  { <. B ,  y >. }  /\  y  e.  A )  ->  f : { B }
--> A )
5049expcom 426 . . . . 5  |-  ( y  e.  A  ->  (
f  =  { <. B ,  y >. }  ->  f : { B } --> A ) )
5150rexlimiv 2623 . . . 4  |-  ( E. y  e.  A  f  =  { <. B , 
y >. }  ->  f : { B } --> A )
5241, 51impbii 182 . . 3  |-  ( f : { B } --> A 
<->  E. y  e.  A  f  =  { <. B , 
y >. } )
533, 52bitri 242 . 2  |-  ( f  e.  ( A  ^m  { B } )  <->  E. y  e.  A  f  =  { <. B ,  y
>. } )
5453abbi2i 2360 1  |-  ( A  ^m  { B }
)  =  { f  |  E. y  e.  A  f  =  { <. B ,  y >. } }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   E!weu 2114   {cab 2239   E.wrex 2510   _Vcvv 2727    C_ wss 3078   {csn 3544   <.cop 3547   class class class wbr 3920   dom cdm 4580   ran crn 4581   "cima 4583   Rel wrel 4585    Fn wfn 4587   -->wf 4588   -onto->wfo 4590   -1-1-onto->wf1o 4591  (class class class)co 5710    ^m cmap 6658
This theorem is referenced by:  mapsnen  6823
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-map 6660
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