Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8d Unicode version

Theorem mapdh8d 30662
Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh8a.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh8a.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh8a.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdh8a.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh8a.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh8a.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh8a.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh8a.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh8a.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh8a.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh8a.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh8a.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh8a.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdh8d.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh8d.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdh8b.eg  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
mapdh8d.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8d.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8d.xt  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8d.yz  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { T } ) )
mapdh8d.w  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8d.wt  |-  ( ph  ->  ( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { T } ) )
mapdh8d.ut  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { T } ) )
mapdh8d.vw  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { w } ) )
mapdh8d.xn  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  w } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdh8d  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  T >. ) )
Distinct variable groups:    x, h,  .-    .0. , h, x    C, h    D, h, x    h, F, x    h, I    h, G, x    h, J, x   
h, M, x    h, N, x    ph, h    R, h, x    x, Q    T, h, x    U, h    h, X, x    h, Y, x   
w, h, x    x, I
Allowed substitution hints:    ph( x, w)    C( x, w)    D( w)    Q( w, h)    R( w)    T( w)    U( x, w)    F( w)    G( w)    H( x, w, h)    I( w)    J( w)    K( x, w, h)    M( w)    .- ( w)    N( w)    V( x, w, h)    W( x, w, h)    X( w)    Y( w)    .0. ( w)

Proof of Theorem mapdh8d
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdh8a.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 mapdh8a.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 mapdh8a.s . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  U )
5 mapdh8a.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
6 mapdh8a.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  U )
7 mapdh8a.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
8 mapdh8a.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  C
)
9 mapdh8a.r . . . 4  |-  R  =  ( -g `  C
)
10 mapdh8a.q . . . 4  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
11 mapdh8a.j . . . 4  |-  J  =  ( LSpan `  C )
12 mapdh8a.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
13 mapdh8a.i . . . 4  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
14 mapdh8a.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
1514adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
16 mapdh8b.eg . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
17 mapdh8d.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
18 mapdh8d.mn . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
19 mapdh8d.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
20 mapdh8d.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
21 eldifi 3215 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Y  e.  V )
2220, 21syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
231, 2, 14dvhlvec 29988 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
24 eldifi 3215 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  e.  V )
2519, 24syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
26 mapdh8d.w . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
27 eldifi 3215 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  w  e.  V )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  w  e.  V )
29 mapdh8d.xn . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  w } ) )
303, 6, 23, 25, 22, 28, 29lspindpi 15720 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { w } ) ) )
3130simpld 447 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
3210, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 17, 18, 19, 22, 31mapdhcl 30606 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  e.  D )
3316, 32eqeltrrd 2328 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  D )
3433adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  G  e.  D
)
3510, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 17, 18, 19, 20, 33, 31mapdheq 30607 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G  <-> 
( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { G } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { ( F R G ) } ) ) ) )
3616, 35mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { G } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { ( F R G ) } ) ) )
3736simpld 447 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { G } ) )
3837adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { G } ) )
39 mapdh8d.vw . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { w } ) )
401, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 16, 19, 20, 39, 26, 29mapdh8a 30654 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  w >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) )
4140adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  w >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) )
4220adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
4326adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  w  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
44 mapdh8d.wt . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { T } ) )
4544adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) )
46 mapdh8d.xt . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
4746adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  T  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
4839adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  {
w } ) )
49 simpr 449 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )
5029adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  w } ) )
511, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 34, 38, 41, 42, 43, 45, 47, 48, 49, 50mapdh8b 30659 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. )  =  ( I `
 <. Y ,  G ,  T >. ) )
5217adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  F  e.  D
)
5318adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
54 eqidd 2254 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) )
5519adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
56 mapdh8d.yz . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { T } ) )
5756adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { T } ) )
58 mapdh8d.ut . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { T } ) )
5958adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { T } ) )
601, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 52, 53, 54, 55, 42, 47, 57, 43, 45, 59, 48, 49, 50mapdh8c 30660 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  T >. ) )
6151, 60eqtr3d 2287 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  T >. ) )
6214adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  T }
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6317adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  T }
) )  ->  F  e.  D )
6418adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  T }
) )  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `
 { F }
) )
6516adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  T }
) )  ->  (
I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
6619adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  T }
) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
6720adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  T }
) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
6856adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  T }
) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { T } ) )
6946adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  T }
) )  ->  T  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
70 simpr 449 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  T }
) )  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  T } ) )
711, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70mapdh8a 30654 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  T }
) )  ->  (
I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  T >. ) )
7261, 71pm2.61dan 769 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  T >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   _Vcvv 2727    \ cdif 3075   ifcif 3470   {csn 3544   {cpr 3545   <.cotp 3548    e. cmpt 3974   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   1stc1st 5972   2ndc2nd 5973   iota_crio 6181   Basecbs 13022   0gc0g 13274   -gcsg 14200   LSpanclspn 15563   HLchlt 28229   LHypclh 28862   DVecHcdvh 29957  LCDualclcd 30465  mapdcmpd 30503
This theorem is referenced by:  mapdh8e  30663
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-fal 1316  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-ot 3554  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-tpos 6086  df-iota 6143  df-undef 6182  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-fz 10661  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-0g 13278  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-poset 13924  df-plt 13936  df-lub 13952  df-glb 13953  df-join 13954  df-meet 13955  df-p0 13989  df-p1 13990  df-lat 13996  df-clat 14058  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-sbg 14326  df-subg 14453  df-cntz 14628  df-oppg 14654  df-lsm 14782  df-cmn 14926  df-abl 14927  df-mgp 15161  df-ring 15175  df-ur 15177  df-oppr 15240  df-dvdsr 15258  df-unit 15259  df-invr 15289  df-dvr 15300  df-drng 15349  df-lmod 15464  df-lss 15525  df-lsp 15564  df-lvec 15691  df-lsatoms 27855  df-lshyp 27856  df-lcv 27898  df-lfl 27937  df-lkr 27965  df-ldual 28003  df-oposet 28055  df-ol 28057  df-oml 28058  df-covers 28145  df-ats 28146  df-atl 28177  df-cvlat 28201  df-hlat 28230  df-llines 28376  df-lplanes 28377  df-lvols 28378  df-lines 28379  df-psubsp 28381  df-pmap 28382  df-padd 28674  df-lhyp 28866  df-laut 28867  df-ldil 28982  df-ltrn 28983  df-trl 29037  df-tgrp 29621  df-tendo 29633  df-edring 29635  df-dveca 29881  df-disoa 29908  df-dvech 29958  df-dib 30018  df-dic 30052  df-dih 30108  df-doch 30227  df-djh 30274  df-lcdual 30466  df-mapd 30504
  Copyright terms: Public domain W3C validator