Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapd0 Unicode version

Theorem mapd0 30544
 Description: Projectivity map of the zero subspace. Part of property (f) in [Baer] p. 40. TODO: does proof need to be this long for this simple fact? (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapd0.h
mapd0.m mapd
mapd0.u
mapd0.o
mapd0.c LCDual
mapd0.z
mapd0.k
Assertion
Ref Expression
mapd0

Proof of Theorem mapd0
StepHypRef Expression
1 mapd0.h . . 3
2 mapd0.u . . 3
3 eqid 2253 . . 3
4 eqid 2253 . . 3 LFnl LFnl
5 eqid 2253 . . 3 LKer LKer
6 eqid 2253 . . 3
7 mapd0.m . . 3 mapd
8 mapd0.k . . 3
91, 2, 8dvhlmod 29989 . . . 4
10 mapd0.o . . . . 5
1110, 3lsssn0 15540 . . . 4
129, 11syl 17 . . 3
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12mapdval 30507 . 2 LFnl LKer LKer LKer
14 simprrr 744 . . . . . . . . . . 11 LFnl LKer LKer LKer LKer
159adantr 453 . . . . . . . . . . . 12 LFnl LKer LKer LKer
168adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13 LFnl LKer LKer LKer
17 eqid 2253 . . . . . . . . . . . . . 14
18 simprl 735 . . . . . . . . . . . . . 14 LFnl LKer LKer LKer LFnl
1917, 4, 5, 15, 18lkrssv 27975 . . . . . . . . . . . . 13 LFnl LKer LKer LKer LKer
201, 2, 17, 3, 6dochlss 30233 . . . . . . . . . . . . 13 LKer LKer
2116, 19, 20syl2anc 645 . . . . . . . . . . . 12 LFnl LKer LKer LKer LKer
2210, 3lssle0 15542 . . . . . . . . . . . 12 LKer LKer LKer
2315, 21, 22syl2anc 645 . . . . . . . . . . 11 LFnl LKer LKer LKer LKer LKer
2414, 23mpbid 203 . . . . . . . . . 10 LFnl LKer LKer LKer LKer
2524fveq2d 5381 . . . . . . . . 9 LFnl LKer LKer LKer LKer
26 simprrl 743 . . . . . . . . 9 LFnl LKer LKer LKer LKer LKer
271, 2, 6, 17, 10doch0 30237 . . . . . . . . . . 11
288, 27syl 17 . . . . . . . . . 10
2928adantr 453 . . . . . . . . 9 LFnl LKer LKer LKer
3025, 26, 293eqtr3d 2293 . . . . . . . 8 LFnl LKer LKer LKer LKer
31 eqid 2253 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
32 eqid 2253 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
3331, 32, 17, 4, 5lkr0f 27973 . . . . . . . . 9 LFnl LKer Scalar
3415, 18, 33syl2anc 645 . . . . . . . 8 LFnl LKer LKer LKer LKer Scalar
3530, 34mpbid 203 . . . . . . 7 LFnl LKer LKer LKer Scalar
36 mapd0.c . . . . . . . . 9 LCDual
37 mapd0.z . . . . . . . . 9
381, 2, 17, 31, 32, 36, 37, 8lcd0v 30490 . . . . . . . 8 Scalar
3938adantr 453 . . . . . . 7 LFnl LKer LKer LKer Scalar
4035, 39eqtr4d 2288 . . . . . 6 LFnl LKer LKer LKer
4140ex 425 . . . . 5 LFnl LKer LKer LKer
42 eqid 2253 . . . . . . . 8
431, 36, 42, 37, 8lcd0vcl 30493 . . . . . . . 8
441, 36, 42, 2, 4, 8, 43lcdvbaselfl 30474 . . . . . . 7 LFnl
4531, 32, 17, 4, 5lkr0f 27973 . . . . . . . . . . . . 13 LFnl LKer Scalar
469, 44, 45syl2anc 645 . . . . . . . . . . . 12 LKer Scalar
4738, 46mpbird 225 . . . . . . . . . . 11 LKer
4847fveq2d 5381 . . . . . . . . . 10 LKer
4948fveq2d 5381 . . . . . . . . 9 LKer
501, 2, 6, 17, 8dochoc1 30240 . . . . . . . . 9
5149, 50eqtrd 2285 . . . . . . . 8 LKer
5251, 47eqtr4d 2288 . . . . . . 7 LKer LKer
531, 2, 6, 17, 10doch1 30238 . . . . . . . . . 10
548, 53syl 17 . . . . . . . . 9
5548, 54eqtrd 2285 . . . . . . . 8 LKer
56 eqimss 3151 . . . . . . . 8 LKer LKer
5755, 56syl 17 . . . . . . 7 LKer
5844, 52, 57jca32 523 . . . . . 6 LFnl LKer LKer LKer
59 eleq1 2313 . . . . . . 7 LFnl LFnl
60 fveq2 5377 . . . . . . . . . . 11 LKer LKer
6160fveq2d 5381 . . . . . . . . . 10 LKer LKer
6261fveq2d 5381 . . . . . . . . 9 LKer LKer
6362, 60eqeq12d 2267 . . . . . . . 8 LKer LKer LKer LKer
6461sseq1d 3126 . . . . . . . 8 LKer LKer
6563, 64anbi12d 694 . . . . . . 7 LKer LKer LKer LKer LKer LKer
6659, 65anbi12d 694 . . . . . 6 LFnl LKer LKer LKer LFnl LKer LKer LKer
6758, 66syl5ibrcom 215 . . . . 5 LFnl LKer LKer LKer
6841, 67impbid 185 . . . 4 LFnl LKer LKer LKer
69 fveq2 5377 . . . . . . . . 9 LKer LKer
7069fveq2d 5381 . . . . . . . 8 LKer LKer
7170fveq2d 5381 . . . . . . 7 LKer LKer
7271, 69eqeq12d 2267 . . . . . 6 LKer LKer LKer LKer
7370sseq1d 3126 . . . . . 6 LKer LKer
7472, 73anbi12d 694 . . . . 5 LKer LKer LKer LKer LKer LKer
7574elrab 2860 . . . 4 LFnl LKer LKer LKer LFnl LKer LKer LKer
76 elsn 3559 . . . 4
7768, 75, 763bitr4g 281 . . 3 LFnl LKer LKer LKer
7877eqrdv 2251 . 2 LFnl LKer LKer LKer
7913, 78eqtrd 2285 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   wa 360   wceq 1619   wcel 1621  crab 2512   wss 3078  csn 3544   cxp 4578  cfv 4592  cbs 13022  Scalarcsca 13085  c0g 13274  clmod 15462  clss 15524  LFnlclfn 27936  LKerclk 27964  chlt 28229  clh 28862  cdvh 29957  coch 30226  LCDualclcd 30465  mapdcmpd 30503 This theorem is referenced by:  mapdcnvatN  30545  mapdat  30546  mapdspex  30547  mapdn0  30548  hdmap10  30722  hdmapeq0  30726 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-fal 1316  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-tpos 6086  df-iota 6143  df-undef 6182  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-fz 10661  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-0g 13278  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-poset 13924  df-plt 13936  df-lub 13952  df-glb 13953  df-join 13954  df-meet 13955  df-p0 13989  df-p1 13990  df-lat 13996  df-clat 14058  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-sbg 14326  df-subg 14453  df-cntz 14628  df-oppg 14654  df-lsm 14782  df-cmn 14926  df-abl 14927  df-mgp 15161  df-ring 15175  df-ur 15177  df-oppr 15240  df-dvdsr 15258  df-unit 15259  df-invr 15289  df-dvr 15300  df-drng 15349  df-lmod 15464  df-lss 15525  df-lsp 15564  df-lvec 15691  df-lsatoms 27855  df-lshyp 27856  df-lcv 27898  df-lfl 27937  df-lkr 27965  df-ldual 28003  df-oposet 28055  df-ol 28057  df-oml 28058  df-covers 28145  df-ats 28146  df-atl 28177  df-cvlat 28201  df-hlat 28230  df-llines 28376  df-lplanes 28377  df-lvols 28378  df-lines 28379  df-psubsp 28381  df-pmap 28382  df-padd 28674  df-lhyp 28866  df-laut 28867  df-ldil 28982  df-ltrn 28983  df-trl 29037  df-tgrp 29621  df-tendo 29633  df-edring 29635  df-dveca 29881  df-disoa 29908  df-dvech 29958  df-dib 30018  df-dic 30052  df-dih 30108  df-doch 30227  df-djh 30274  df-lcdual 30466  df-mapd 30504
 Copyright terms: Public domain W3C validator