MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  map1 Unicode version

Theorem map1 6824
Description: Set exponentiation: ordinal 1 to any set is equinumerous to ordinal 1. Exercise 4.42(b) of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 17-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
map1  |-  ( A  e.  V  ->  ( 1o  ^m  A )  ~~  1o )

Proof of Theorem map1
StepHypRef Expression
1 ovex 5735 . . 3  |-  ( 1o 
^m  A )  e. 
_V
21a1i 12 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( 1o  ^m  A )  e. 
_V )
3 df1o2 6377 . . . 4  |-  1o  =  { (/) }
4 p0ex 4091 . . . 4  |-  { (/) }  e.  _V
53, 4eqeltri 2323 . . 3  |-  1o  e.  _V
65a1i 12 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  1o  e.  _V )
7 0ex 4047 . . 3  |-  (/)  e.  _V
87a1ii 26 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( 1o 
^m  A )  ->  (/) 
e.  _V ) )
9 xpexg 4707 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  {
(/) }  e.  _V )  ->  ( A  X.  { (/) } )  e. 
_V )
104, 9mpan2 655 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  X.  { (/) } )  e.  _V )
1110a1d 24 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
y  e.  1o  ->  ( A  X.  { (/) } )  e.  _V )
)
12 el1o 6384 . . . . 5  |-  ( y  e.  1o  <->  y  =  (/) )
1312a1i 12 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
y  e.  1o  <->  y  =  (/) ) )
143oveq1i 5720 . . . . . . 7  |-  ( 1o 
^m  A )  =  ( { (/) }  ^m  A )
1514eleq2i 2317 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1o  ^m  A )  <->  x  e.  ( { (/) }  ^m  A
) )
16 elmapg 6671 . . . . . . 7  |-  ( ( { (/) }  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( x  e.  ( { (/) }  ^m  A )  <->  x : A
--> { (/) } ) )
174, 16mpan 654 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( {
(/) }  ^m  A )  <-> 
x : A --> { (/) } ) )
1815, 17syl5bb 250 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( 1o 
^m  A )  <->  x : A
--> { (/) } ) )
197fconst2 5582 . . . . 5  |-  ( x : A --> { (/) }  <-> 
x  =  ( A  X.  { (/) } ) )
2018, 19syl6rbb 255 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  =  ( A  X.  { (/) } )  <-> 
x  e.  ( 1o 
^m  A ) ) )
2113, 20anbi12d 694 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( y  e.  1o  /\  x  =  ( A  X.  { (/) } ) )  <->  ( y  =  (/)  /\  x  e.  ( 1o  ^m  A ) ) ) )
22 ancom 439 . . 3  |-  ( ( y  =  (/)  /\  x  e.  ( 1o  ^m  A
) )  <->  ( x  e.  ( 1o  ^m  A
)  /\  y  =  (/) ) )
2321, 22syl6rbb 255 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  ( 1o  ^m  A )  /\  y  =  (/) ) 
<->  ( y  e.  1o  /\  x  =  ( A  X.  { (/) } ) ) ) )
242, 6, 8, 11, 23en2d 6783 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( 1o  ^m  A )  ~~  1o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   _Vcvv 2727   (/)c0 3362   {csn 3544   class class class wbr 3920    X. cxp 4578   -->wf 4588  (class class class)co 5710   1oc1o 6358    ^m cmap 6658    ~~ cen 6746
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-suc 4291  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1o 6365  df-map 6660  df-en 6750
  Copyright terms: Public domain W3C validator