MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lttri Unicode version

Theorem lttri 8825
Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1  |-  A  e.  RR
lt.2  |-  B  e.  RR
lt.3  |-  C  e.  RR
Assertion
Ref Expression
lttri  |-  ( ( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C )

Proof of Theorem lttri
StepHypRef Expression
1 lt.1 . 2  |-  A  e.  RR
2 lt.2 . 2  |-  B  e.  RR
3 lt.3 . 2  |-  C  e.  RR
4 axlttrn 8775 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
51, 2, 3, 4mp3an 1282 1  |-  ( ( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1621   class class class wbr 3920   RRcr 8616    < clt 8747
This theorem is referenced by:  1lt3  9767  2lt4  9769  1lt4  9770  3lt5  9772  2lt5  9773  1lt5  9774  4lt6  9776  3lt6  9777  2lt6  9778  1lt6  9779  5lt7  9781  4lt7  9782  3lt7  9783  2lt7  9784  1lt7  9785  6lt8  9787  5lt8  9788  4lt8  9789  3lt8  9790  2lt8  9791  1lt8  9792  7lt9  9794  6lt9  9795  5lt9  9796  4lt9  9797  3lt9  9798  2lt9  9799  1lt9  9800  8lt10  9802  7lt10  9803  6lt10  9804  5lt10  9805  4lt10  9806  3lt10  9807  2lt10  9808  1lt10  9809  sincos2sgn  12348  epos  12359  dvdslelem  12447  oppcbas  13465  sralem  15762  zlmlem  16303  tnglem  17988  xrhmph  18277  vitalilem4  18798  pipos  19665  logneg  19773  asin1  20022  reasinsin  20024  atan1  20056  bposlem8  20362  bposlem9  20363  chebbnd1lem2  20451  chebbnd1lem3  20452  chebbnd1  20453  mulog2sumlem2  20516  pntibndlem1  20570  pntlemb  20578  pntlemk  20587  axlowdimlem16  23759  fdc  25621
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-resscn 8674  ax-pre-lttrn 8692
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-ltxr 8752
  Copyright terms: Public domain W3C validator