Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltrnq Unicode version

Theorem ltrnq 8483
 Description: Ordering property of reciprocal for positive fractions. Proposition 9-2.6(iv) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 9-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltrnq

Proof of Theorem ltrnq
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 8430 . . 3
21brel 4644 . 2
31brel 4644 . . 3
4 dmrecnq 8472 . . . . 5
5 0nnq 8428 . . . . 5
64, 5ndmfvrcl 5406 . . . 4
74, 5ndmfvrcl 5406 . . . 4
86, 7anim12ci 552 . . 3
93, 8syl 17 . 2
10 breq1 3923 . . . 4
11 fveq2 5377 . . . . 5
1211breq2d 3932 . . . 4
1310, 12bibi12d 314 . . 3
14 breq2 3924 . . . 4
15 fveq2 5377 . . . . 5
1615breq1d 3930 . . . 4
1714, 16bibi12d 314 . . 3
18 recclnq 8470 . . . . . 6
19 recclnq 8470 . . . . . 6
20 mulclnq 8451 . . . . . 6
2118, 19, 20syl2an 465 . . . . 5
22 ltmnq 8476 . . . . 5
2321, 22syl 17 . . . 4
24 mulcomnq 8457 . . . . . . 7
25 mulassnq 8463 . . . . . . 7
26 mulcomnq 8457 . . . . . . 7
2724, 25, 263eqtr2i 2279 . . . . . 6
28 recidnq 8469 . . . . . . . 8
2928oveq2d 5726 . . . . . . 7
30 mulidnq 8467 . . . . . . . 8
3119, 30syl 17 . . . . . . 7
3229, 31sylan9eq 2305 . . . . . 6
3327, 32syl5eq 2297 . . . . 5
34 mulassnq 8463 . . . . . . 7
35 mulcomnq 8457 . . . . . . . 8
3635oveq2i 5721 . . . . . . 7
3734, 36eqtri 2273 . . . . . 6
38 recidnq 8469 . . . . . . . 8
3938oveq2d 5726 . . . . . . 7
40 mulidnq 8467 . . . . . . . 8
4118, 40syl 17 . . . . . . 7
4239, 41sylan9eqr 2307 . . . . . 6
4337, 42syl5eq 2297 . . . . 5
4433, 43breq12d 3933 . . . 4
4523, 44bitrd 246 . . 3
4613, 17, 45vtocl2ga 2789 . 2
472, 9, 46pm5.21nii 344 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 178   wa 360   wceq 1619   wcel 1621   class class class wbr 3920  cfv 4592  (class class class)co 5710  cnq 8354  c1q 8355   cmq 8358  crq 8359   cltq 8360 This theorem is referenced by:  addclprlem1  8520  reclem2pr  8552  reclem3pr  8553 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-ni 8376  df-mi 8378  df-lti 8379  df-mpq 8413  df-ltpq 8414  df-enq 8415  df-nq 8416  df-erq 8417  df-mq 8419  df-1nq 8420  df-rq 8421  df-ltnq 8422
 Copyright terms: Public domain W3C validator