Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmbr Unicode version

Theorem lmbr 16820
 Description: Express the binary relation "sequence converges to point " in a topological space. Definition 1.4-1 of [Kreyszig] p. 25. The condition allows us to use objects more general than sequences when convenient; see the comment in df-lm 16791. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
lmbr.2 TopOn
Assertion
Ref Expression
lmbr
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem lmbr
StepHypRef Expression
1 lmbr.2 . . . 4 TopOn
2 lmfval 16794 . . . 4 TopOn
31, 2syl 17 . . 3
43breqd 3931 . 2
5 reseq1 4856 . . . . . . . . 9
65feq1d 5236 . . . . . . . 8
76rexbidv 2528 . . . . . . 7
87imbi2d 309 . . . . . 6
98ralbidv 2527 . . . . 5
10 eleq1 2313 . . . . . . 7
1110imbi1d 310 . . . . . 6
1211ralbidv 2527 . . . . 5
139, 12sylan9bb 683 . . . 4
14 df-3an 941 . . . . 5
1514opabbii 3980 . . . 4
1613, 15brab2ga 4670 . . 3
17 df-3an 941 . . 3
1816, 17bitr4i 245 . 2
194, 18syl6bb 254 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   wa 360   w3a 939   wceq 1619   wcel 1621  wral 2509  wrex 2510   class class class wbr 3920  copab 3973   crn 4581   cres 4582  wf 4588  cfv 4592  (class class class)co 5710   cpm 6659  cc 8615  cuz 10109  TopOnctopon 16464  clm 16788 This theorem is referenced by:  lmbr2  16821  lmfpm  16855  lmcl  16857  lmff  16861  lmmbr  18516 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-fv 4608  df-ov 5713  df-top 16468  df-topon 16471  df-lm 16791
 Copyright terms: Public domain W3C validator