Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limsupval Unicode version

Theorem limsupval 11825
 Description: The superior limit of an infinite sequence of extended real numbers, which is the infimum (indicated by ) of the set of suprema of all upper infinite subsequences of . Definition 12-4.1 of [Gleason] p. 175. (Contributed by NM, 26-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
limsupval.1
Assertion
Ref Expression
limsupval
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem limsupval
StepHypRef Expression
1 elex 2735 . 2
2 imaeq1 4914 . . . . . . . . 9
32ineq1d 3277 . . . . . . . 8
43supeq1d 7083 . . . . . . 7
54mpteq2dv 4004 . . . . . 6
6 limsupval.1 . . . . . 6
75, 6syl6eqr 2303 . . . . 5
87rneqd 4813 . . . 4
98supeq1d 7083 . . 3
10 df-limsup 11822 . . 3
11 xrltso 10354 . . . . 5
12 cnvso 5120 . . . . 5
1311, 12mpbi 201 . . . 4
1413supex 7098 . . 3
159, 10, 14fvmpt 5454 . 2
161, 15syl 17 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wceq 1619   wcel 1621  cvv 2727   cin 3077   cmpt 3974   wor 4206  ccnv 4579   crn 4581  cima 4583  cfv 4592  (class class class)co 5710  csup 7077  cr 8616   cpnf 8744  cxr 8746   clt 8747  cico 10536  clsp 11821 This theorem is referenced by:  limsuple  11829  limsupval2  11831 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-sup 7078  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-limsup 11822
 Copyright terms: Public domain W3C validator