HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  leopmuli Unicode version

Theorem leopmuli 22543
Description: The scalar product of a nonnegative real and a positive operator is a positive operator. Exercise 1(ii) of [Retherford] p. 49. (Contributed by NM, 25-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
leopmuli  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  /\  ( 0  <_  A  /\  0hop  <_op  T )
)  ->  0hop  <_op  ( A  .op  T ) )

Proof of Theorem leopmuli
StepHypRef Expression
1 hmopre 22333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( T `  x
)  .ih  x )  e.  RR )
2 mulge0 9171 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( ( ( T `
 x )  .ih  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( T `  x )  .ih  x ) ) )  ->  0  <_  ( A  x.  ( ( T `  x )  .ih  x ) ) )
31, 2sylanr1 636 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( ( T  e. 
HrmOp  /\  x  e.  ~H )  /\  0  <_  (
( T `  x
)  .ih  x )
) )  ->  0  <_  ( A  x.  (
( T `  x
)  .ih  x )
) )
43expr 601 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( T  e.  HrmOp  /\  x  e.  ~H )
)  ->  ( 0  <_  ( ( T `
 x )  .ih  x )  ->  0  <_  ( A  x.  (
( T `  x
)  .ih  x )
) ) )
54an4s 802 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  /\  ( 0  <_  A  /\  x  e.  ~H ) )  ->  (
0  <_  ( ( T `  x )  .ih  x )  ->  0  <_  ( A  x.  (
( T `  x
)  .ih  x )
) ) )
65anassrs 632 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  T  e. 
HrmOp )  /\  0  <_  A )  /\  x  e.  ~H )  ->  (
0  <_  ( ( T `  x )  .ih  x )  ->  0  <_  ( A  x.  (
( T `  x
)  .ih  x )
) ) )
7 recn 8707 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
8 hmopf 22284 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T : ~H
--> ~H )
97, 8anim12i 551 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  -> 
( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )
)
10 homval 22003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  .op  T ) `  x )  =  ( A  .h  ( T `  x ) ) )
11103expa 1156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A 
.op  T ) `  x )  =  ( A  .h  ( T `
 x ) ) )
1211oveq1d 5725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( A  .op  T ) `
 x )  .ih  x )  =  ( ( A  .h  ( T `  x )
)  .ih  x )
)
13 simpll 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  A  e.  CC )
14 ffvelrn 5515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  x
)  e.  ~H )
1514adantll 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  x )  e.  ~H )
16 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  x  e.  ~H )
17 ax-his3 21493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( T `  x )  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( A  .h  ( T `  x )
)  .ih  x )  =  ( A  x.  ( ( T `  x )  .ih  x
) ) )
1813, 15, 16, 17syl3anc 1187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  .h  ( T `  x ) )  .ih  x )  =  ( A  x.  ( ( T `  x ) 
.ih  x ) ) )
1912, 18eqtrd 2285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( A  .op  T ) `
 x )  .ih  x )  =  ( A  x.  ( ( T `  x ) 
.ih  x ) ) )
209, 19sylan 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( A 
.op  T ) `  x )  .ih  x
)  =  ( A  x.  ( ( T `
 x )  .ih  x ) ) )
2120breq2d 3932 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( 0  <_  (
( ( A  .op  T ) `  x ) 
.ih  x )  <->  0  <_  ( A  x.  ( ( T `  x ) 
.ih  x ) ) ) )
2221adantlr 698 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  T  e. 
HrmOp )  /\  0  <_  A )  /\  x  e.  ~H )  ->  (
0  <_  ( (
( A  .op  T
) `  x )  .ih  x )  <->  0  <_  ( A  x.  ( ( T `  x ) 
.ih  x ) ) ) )
236, 22sylibrd 227 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  T  e. 
HrmOp )  /\  0  <_  A )  /\  x  e.  ~H )  ->  (
0  <_  ( ( T `  x )  .ih  x )  ->  0  <_  ( ( ( A 
.op  T ) `  x )  .ih  x
) ) )
2423ralimdva 2583 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  /\  0  <_  A )  -> 
( A. x  e. 
~H  0  <_  (
( T `  x
)  .ih  x )  ->  A. x  e.  ~H  0  <_  ( ( ( A  .op  T ) `
 x )  .ih  x ) ) )
2524expimpd 589 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  -> 
( ( 0  <_  A  /\  A. x  e. 
~H  0  <_  (
( T `  x
)  .ih  x )
)  ->  A. x  e.  ~H  0  <_  (
( ( A  .op  T ) `  x ) 
.ih  x ) ) )
26 leoppos 22536 . . . . 5  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  ( 0hop  <_op 
T  <->  A. x  e.  ~H  0  <_  ( ( T `
 x )  .ih  x ) ) )
2726adantl 454 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  -> 
( 0hop  <_op  T  <->  A. x  e.  ~H  0  <_  (
( T `  x
)  .ih  x )
) )
2827anbi2d 687 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  -> 
( ( 0  <_  A  /\  0hop  <_op  T )  <-> 
( 0  <_  A  /\  A. x  e.  ~H  0  <_  ( ( T `
 x )  .ih  x ) ) ) )
29 hmopm 22431 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  -> 
( A  .op  T
)  e.  HrmOp )
30 leoppos 22536 . . . 4  |-  ( ( A  .op  T )  e.  HrmOp  ->  ( 0hop  <_op 
( A  .op  T
)  <->  A. x  e.  ~H  0  <_  ( ( ( A  .op  T ) `
 x )  .ih  x ) ) )
3129, 30syl 17 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  -> 
( 0hop  <_op  ( A 
.op  T )  <->  A. x  e.  ~H  0  <_  (
( ( A  .op  T ) `  x ) 
.ih  x ) ) )
3225, 28, 313imtr4d 261 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  -> 
( ( 0  <_  A  /\  0hop  <_op  T )  ->  0hop  <_op  ( A  .op  T ) ) )
3332imp 420 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  T  e.  HrmOp )  /\  ( 0  <_  A  /\  0hop  <_op  T )
)  ->  0hop  <_op  ( A  .op  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   class class class wbr 3920   -->wf 4588   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   CCcc 8615   RRcr 8616   0cc0 8617    x. cmul 8622    <_ cle 8748   ~Hchil 21329    .h csm 21331    .ih csp 21332    .op chot 21349   0hopch0o 21353   HrmOpcho 21360    <_op cleo 21368
This theorem is referenced by:  leopmul  22544  leopmul2i  22545  opsqrlem1  22550
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cc 7945  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697  ax-hilex 21409  ax-hfvadd 21410  ax-hvcom 21411  ax-hvass 21412  ax-hv0cl 21413  ax-hvaddid 21414  ax-hfvmul 21415  ax-hvmulid 21416  ax-hvmulass 21417  ax-hvdistr1 21418  ax-hvdistr2 21419  ax-hvmul0 21420  ax-hfi 21488  ax-his1 21491  ax-his2 21492  ax-his3 21493  ax-his4 21494  ax-hcompl 21611
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-map 6660  df-pm 6661  df-ixp 6704  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-acn 7459  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ioo 10538  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-seq 10925  df-exp 10983  df-hash 11216  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-sum 12036  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-hom 13106  df-cco 13107  df-rest 13201  df-topn 13202  df-topgen 13218  df-pt 13219  df-prds 13222  df-xrs 13277  df-0g 13278  df-gsum 13279  df-qtop 13284  df-imas 13285  df-xps 13287  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-mulg 14327  df-cntz 14628  df-cmn 14926  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-cnfld 16210  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-nei 16667  df-cn 16789  df-cnp 16790  df-lm 16791  df-haus 16875  df-tx 17089  df-hmeo 17278  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467  df-xms 17717  df-ms 17718  df-tms 17719  df-cfil 18513  df-cau 18514  df-cmet 18515  df-grpo 20688  df-gid 20689  df-ginv 20690  df-gdiv 20691  df-ablo 20779  df-subgo 20799  df-vc 20932  df-nv 20978  df-va 20981  df-ba 20982  df-sm 20983  df-0v 20984  df-vs 20985  df-nmcv 20986  df-ims 20987  df-dip 21104  df-ssp 21128  df-ph 21221  df-cbn 21272  df-hnorm 21378  df-hba 21379  df-hvsub 21381  df-hlim 21382  df-hcau 21383  df-sh 21616  df-ch 21631  df-oc 21661  df-ch0 21662  df-shs 21717  df-pjh 21804  df-hosum 21992  df-homul 21993  df-hodif 21994  df-h0op 22158  df-hmop 22254  df-leop 22262
  Copyright terms: Public domain W3C validator