Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  l1cvat Unicode version

Theorem l1cvat 27934
Description: Create an atom under an element covered by the lattice unit. Part of proof of Lemma B in [Crawley] p. 112. (1cvrat 28354 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
l1cvat.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
l1cvat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
l1cvat.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
l1cvat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
l1cvat.c  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
l1cvat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
l1cvat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
l1cvat.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
l1cvat.r  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
l1cvat.n  |-  ( ph  ->  Q  =/=  R )
l1cvat.l  |-  ( ph  ->  U C V )
l1cvat.m  |-  ( ph  ->  -.  Q  C_  U
)
Assertion
Ref Expression
l1cvat  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .(+)  R )  i^i  U )  e.  A )

Proof of Theorem l1cvat
StepHypRef Expression
1 l1cvat.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 15694 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 lmodabl 15507 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
53, 4syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
6 l1cvat.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
76lsssssubg 15550 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )
83, 7syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  (SubGrp `  W
) )
9 l1cvat.a . . . . . . 7  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
10 l1cvat.q . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
116, 9, 3, 10lsatlssel 27876 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q  e.  S )
128, 11sseldd 3104 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  e.  (SubGrp `  W ) )
13 l1cvat.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
146, 9, 3, 13lsatlssel 27876 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  S )
158, 14sseldd 3104 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubGrp `  W ) )
16 l1cvat.p . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
1716lsmcom 14985 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  Abel  /\  Q  e.  (SubGrp `  W )  /\  R  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( Q  .(+)  R )  =  ( R  .(+)  Q ) )
185, 12, 15, 17syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q  .(+)  R )  =  ( R  .(+)  Q ) )
1918ineq1d 3277 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .(+)  R )  i^i  U )  =  ( ( R 
.(+)  Q )  i^i  U
) )
20 incom 3269 . . 3  |-  ( ( R  .(+)  Q )  i^i  U )  =  ( U  i^i  ( R 
.(+)  Q ) )
2119, 20syl6eq 2301 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .(+)  R )  i^i  U )  =  ( U  i^i  ( R  .(+)  Q ) ) )
22 l1cvat.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
23 l1cvat.n . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  =/=  R )
2423necomd 2495 . . 3  |-  ( ph  ->  R  =/=  Q )
25 l1cvat.m . . 3  |-  ( ph  ->  -.  Q  C_  U
)
26 l1cvat.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2726, 9, 3, 13lsatssv 27877 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  C_  V )
28 l1cvat.c . . . . 5  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
29 l1cvat.l . . . . 5  |-  ( ph  ->  U C V )
3026, 6, 16, 9, 28, 1, 22, 10, 29, 25l1cvpat 27933 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  Q )  =  V )
3127, 30sseqtr4d 3136 . . 3  |-  ( ph  ->  R  C_  ( U  .(+) 
Q ) )
326, 16, 9, 1, 22, 13, 10, 24, 25, 31lsatcvat3 27931 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  ( R  .(+)  Q ) )  e.  A )
3321, 32eqeltrd 2327 1  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .(+)  R )  i^i  U )  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412    i^i cin 3077    C_ wss 3078   class class class wbr 3920   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   Basecbs 13022  SubGrpcsubg 14450   LSSumclsm 14780   Abelcabel 14925   LModclmod 15462   LSubSpclss 15524   LVecclvec 15690  LSAtomsclsa 27853    <oLL clcv 27897
This theorem is referenced by:  lshpat  27935
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-tpos 6086  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-0g 13278  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-sbg 14326  df-subg 14453  df-cntz 14628  df-oppg 14654  df-lsm 14782  df-cmn 14926  df-abl 14927  df-mgp 15161  df-ring 15175  df-ur 15177  df-oppr 15240  df-dvdsr 15258  df-unit 15259  df-invr 15289  df-drng 15349  df-lmod 15464  df-lss 15525  df-lsp 15564  df-lvec 15691  df-lsatoms 27855  df-lshyp 27856  df-lcv 27898
  Copyright terms: Public domain W3C validator