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Theorem itg2add 19604
Description: The  S.2 integral is linear. (Measurability is an essential component of this theorem; otherwise consider the characteristic function of a nonmeasurable set and its complement.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2add.f1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2add.f2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
itg2add.f3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
itg2add.g1  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
itg2add.g2  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
itg2add.g3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
itg2add  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F  o F  +  G
) )  =  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) )

Proof of Theorem itg2add
Dummy variables  f 
g  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2add.f1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
2 itg2add.f2 . . 3  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
31, 2mbfi1fseq 19566 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
4 itg2add.g1 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
5 itg2add.g2 . . 3  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
64, 5mbfi1fseq 19566 . 2  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) )
7 eeanv 1933 . . 3  |-  ( E. f E. g ( ( f : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  (
f `  n )  /\  ( f `  n
)  o R  <_ 
( f `  (
n  +  1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  (
g `  n )  /\  ( g `  n
)  o R  <_ 
( g `  (
n  +  1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  ~~>  ( G `  x ) ) )  <-> 
( E. f ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )
81adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  F  e. MblFn )
92adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) )
10 itg2add.f3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
1110adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  ( S.2 `  F )  e.  RR )
124adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  G  e. MblFn )
135adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  G : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) )
14 itg2add.g3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
1514adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  ( S.2 `  G )  e.  RR )
16 simprl1 1002 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  f : NN --> dom  S.1 )
17 simprl2 1003 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  (
f `  n )  /\  ( f `  n
)  o R  <_ 
( f `  (
n  +  1 ) ) ) )
18 simprl3 1004 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )
19 simprr1 1005 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  g : NN --> dom  S.1 )
20 simprr2 1006 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  (
g `  n )  /\  ( g `  n
)  o R  <_ 
( g `  (
n  +  1 ) ) ) )
21 simprr3 1007 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) )
228, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21itg2addlem 19603 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  ( S.2 `  ( F  o F  +  G )
)  =  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
2322ex 424 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) )  ->  ( S.2 `  ( F  o F  +  G ) )  =  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) ) )
2423exlimdvv 1644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. f E. g ( ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) )  ->  ( S.2 `  ( F  o F  +  G ) )  =  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) ) )
257, 24syl5bir 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E. f
( f : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  (
f `  n )  /\  ( f `  n
)  o R  <_ 
( f `  (
n  +  1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) )  /\  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) )  ->  ( S.2 `  ( F  o F  +  G ) )  =  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) ) )
263, 6, 25mp2and 661 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F  o F  +  G
) )  =  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262    o Rcofr 6263   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    +oocpnf 9073    <_ cle 9077   NNcn 9956   [,)cico 10874    ~~> cli 12233  MblFncmbf 19459   S.1citg1 19460   S.2citg2 19461   0 pc0p 19514
This theorem is referenced by:  ibladdlem  19664  itgaddlem1  19667  iblabslem  19672  iblabs  19673
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cmp 17404  df-ovol 19314  df-vol 19315  df-mbf 19465  df-itg1 19466  df-itg2 19467  df-0p 19515
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