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Theorem istendo 29638
Description: The predicate "is a trace-preserving endomorphism". Similar to definition of trace-preserving endomorphism in [Crawley] p. 117, penultimate line. (Contributed by NM, 8-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoset.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
tendoset.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendoset.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendoset.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
tendoset.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
istendo  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( S  e.  E  <->  ( S : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( S `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( S `  f )  o.  ( S `  g )
)  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( S `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, K    T, f, g    f, W, g    S, f, g
Allowed substitution hints:    R( f, g)    E( f, g)    H( f, g)    .<_ ( f, g)    V( f, g)

Proof of Theorem istendo
StepHypRef Expression
1 tendoset.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 tendoset.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 tendoset.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
4 tendoset.r . . . 4  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
5 tendoset.e . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
61, 2, 3, 4, 5tendoset 29637 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  E  =  { s  |  ( s : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  (
s `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) } )
76eleq2d 2320 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( S  e.  E  <->  S  e.  { s  |  ( s : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( s `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( s `  f
)  o.  ( s `
 g ) )  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) } ) )
8 fvex 5391 . . . . . 6  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  e.  _V
93, 8eqeltri 2323 . . . . 5  |-  T  e. 
_V
10 fex 5601 . . . . 5  |-  ( ( S : T --> T  /\  T  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
119, 10mpan2 655 . . . 4  |-  ( S : T --> T  ->  S  e.  _V )
12113ad2ant1 981 . . 3  |-  ( ( S : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( S `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( S `  f )  o.  ( S `  g )
)  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( S `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) )  ->  S  e.  _V )
13 feq1 5232 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  (
s : T --> T  <->  S : T
--> T ) )
14 fveq1 5376 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
s `  ( f  o.  g ) )  =  ( S `  (
f  o.  g ) ) )
15 fveq1 5376 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
s `  f )  =  ( S `  f ) )
16 fveq1 5376 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
s `  g )  =  ( S `  g ) )
1715, 16coeq12d 4755 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
( s `  f
)  o.  ( s `
 g ) )  =  ( ( S `
 f )  o.  ( S `  g
) ) )
1814, 17eqeq12d 2267 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  <->  ( S `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( S `  f
)  o.  ( S `
 g ) ) ) )
19182ralbidv 2547 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  ( A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  <->  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( S `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( S `  f
)  o.  ( S `
 g ) ) ) )
2015fveq2d 5381 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( R `  ( s `  f ) )  =  ( R `  ( S `  f )
) )
2120breq1d 3930 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (
( R `  (
s `  f )
)  .<_  ( R `  f )  <->  ( R `  ( S `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) )
2221ralbidv 2527 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  ( A. f  e.  T  ( R `  ( s `
 f ) ) 
.<_  ( R `  f
)  <->  A. f  e.  T  ( R `  ( S `
 f ) ) 
.<_  ( R `  f
) ) )
2313, 19, 223anbi123d 1257 . . 3  |-  ( s  =  S  ->  (
( s : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( s `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( s `  f
)  o.  ( s `
 g ) )  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) )  <-> 
( S : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( S `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( S `  f
)  o.  ( S `
 g ) )  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( S `  f ) )  .<_  ( R `  f ) ) ) )
2412, 23elab3 2858 . 2  |-  ( S  e.  { s  |  ( s : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( s `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( s `  f
)  o.  ( s `
 g ) )  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) }  <->  ( S : T
--> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( S `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( S `  f
)  o.  ( S `
 g ) )  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( S `  f ) )  .<_  ( R `  f ) ) )
257, 24syl6bb 254 1  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( S  e.  E  <->  ( S : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( S `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( S `  f )  o.  ( S `  g )
)  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( S `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2239   A.wral 2509   _Vcvv 2727   class class class wbr 3920    o. ccom 4584   -->wf 4588   ` cfv 4592   lecple 13089   LHypclh 28862   LTrncltrn 28979   trLctrl 29036   TEndoctendo 29630
This theorem is referenced by:  tendotp  29639  istendod  29640  tendof  29641  tendovalco  29643
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-map 6660  df-tendo 29633
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