Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isspthonpth Unicode version

Theorem isspthonpth 21537
 Description: Properties of a pair of functions to be a simple path between two given vertices(in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
isspthonpth SPathOn SPaths

Proof of Theorem isspthonpth
StepHypRef Expression
1 isspthon 21536 . 2 SPathOn WalkOn SPaths
2 iswlkon 21484 . . . 4 WalkOn Walks
32anbi1d 686 . . 3 WalkOn SPaths Walks SPaths
4 simpl 444 . . . . . 6 SPaths Walks SPaths
5 simpr2 964 . . . . . 6 SPaths Walks
6 simpr3 965 . . . . . 6 SPaths Walks
74, 5, 63jca 1134 . . . . 5 SPaths Walks SPaths
87ancoms 440 . . . 4 Walks SPaths SPaths
9 spthispth 21526 . . . . . . 7 SPaths Paths
10 pthistrl 21525 . . . . . . 7 Paths Trails
11 trliswlk 21492 . . . . . . 7 Trails Walks
129, 10, 113syl 19 . . . . . 6 SPaths Walks
13123anim1i 1140 . . . . 5 SPaths Walks
14 simp1 957 . . . . 5 SPaths SPaths
1513, 14jca 519 . . . 4 SPaths Walks SPaths
168, 15impbii 181 . . 3 Walks SPaths SPaths
173, 16syl6bb 253 . 2 WalkOn SPaths SPaths
181, 17bitrd 245 1 SPathOn SPaths
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721   class class class wbr 4172  cfv 5413  (class class class)co 6040  cc0 8946  chash 11573   Walks cwalk 21459   Trails ctrail 21460   Paths cpath 21461   SPaths cspath 21462   WalkOn cwlkon 21463   SPathOn cspthon 21466 This theorem is referenced by:  el2spthonot0  28068 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-hash 11574  df-word 11678  df-wlk 21469  df-trail 21470  df-pth 21471  df-spth 21472  df-wlkon 21475  df-spthon 21478
 Copyright terms: Public domain W3C validator