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Theorem isrng 15180
Description: The predicate "is a (unital) ring." Definition of ring with unit in [Schechter] p. 187. (Contributed by NM, 18-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isrng.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
isrng.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
isrng.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
isrng.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
isrng  |-  ( R  e.  Ring  <->  ( R  e. 
Grp  /\  G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x 
.x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, B    x,  .+ , y, z    x, R, y, z    x,  .x. , y, z
Allowed substitution hints:    G( x, y, z)

Proof of Theorem isrng
StepHypRef Expression
1 fveq2 5377 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  (mulGrp `  r )  =  (mulGrp `  R ) )
2 isrng.g . . . . . 6  |-  G  =  (mulGrp `  R )
31, 2syl6eqr 2303 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  (mulGrp `  r )  =  G )
43eleq1d 2319 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  (
(mulGrp `  r )  e.  Mnd  <->  G  e.  Mnd ) )
5 fvex 5391 . . . . . 6  |-  ( Base `  r )  e.  _V
65a1i 12 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( Base `  r )  e. 
_V )
7 fveq2 5377 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  ( Base `  r )  =  ( Base `  R
) )
8 isrng.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
97, 8syl6eqr 2303 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( Base `  r )  =  B )
10 fvex 5391 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  r )  e.  _V
1110a1i 12 . . . . . 6  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  ->  ( +g  `  r
)  e.  _V )
12 simpl 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  ->  r  =  R )
1312fveq2d 5381 . . . . . . 7  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  ->  ( +g  `  r
)  =  ( +g  `  R ) )
14 isrng.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  R )
1513, 14syl6eqr 2303 . . . . . 6  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  ->  ( +g  `  r
)  =  .+  )
16 fvex 5391 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  r )  e. 
_V
1716a1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  ( .r `  r )  e. 
_V )
18 simpll 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  r  =  R )
1918fveq2d 5381 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  ( .r `  r )  =  ( .r `  R
) )
20 isrng.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  R )
2119, 20syl6eqr 2303 . . . . . . 7  |-  ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  ( .r `  r )  = 
.x.  )
22 simpllr 738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  b  =  B )
23 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  t  =  .x.  )
24 eqidd 2254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  x  =  x )
25 simplr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  p  =  .+  )
2625oveqd 5727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
y p z )  =  ( y  .+  z ) )
2723, 24, 26oveq123d 5731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
x t ( y p z ) )  =  ( x  .x.  ( y  .+  z
) ) )
2823oveqd 5727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
x t y )  =  ( x  .x.  y ) )
2923oveqd 5727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
x t z )  =  ( x  .x.  z ) )
3025, 28, 29oveq123d 5731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
( x t y ) p ( x t z ) )  =  ( ( x 
.x.  y )  .+  ( x  .x.  z ) ) )
3127, 30eqeq12d 2267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  <->  ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) ) ) )
3225oveqd 5727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
x p y )  =  ( x  .+  y ) )
33 eqidd 2254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  z  =  z )
3423, 32, 33oveq123d 5731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
( x p y ) t z )  =  ( ( x 
.+  y )  .x.  z ) )
3523oveqd 5727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
y t z )  =  ( y  .x.  z ) )
3625, 29, 35oveq123d 5731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
( x t z ) p ( y t z ) )  =  ( ( x 
.x.  z )  .+  ( y  .x.  z
) ) )
3734, 36eqeq12d 2267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) )  <->  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) )
3831, 37anbi12d 694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  <->  ( ( x 
.x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
3922, 38raleqbidv 2699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  ( A. z  e.  b 
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  <->  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
4022, 39raleqbidv 2699 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  <->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
4122, 40raleqbidv 2699 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
4217, 21, 41sbcied2 2958 . . . . . 6  |-  ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  ( [. ( .r `  r
)  /  t ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
4311, 15, 42sbcied2 2958 . . . . 5  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  ->  ( [. ( +g  `  r )  /  p ]. [. ( .r `  r )  /  t ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
446, 9, 43sbcied2 2958 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  ( [. ( Base `  r
)  /  b ]. [. ( +g  `  r
)  /  p ]. [. ( .r `  r
)  /  t ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
454, 44anbi12d 694 . . 3  |-  ( r  =  R  ->  (
( (mulGrp `  r
)  e.  Mnd  /\  [. ( Base `  r
)  /  b ]. [. ( +g  `  r
)  /  p ]. [. ( .r `  r
)  /  t ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) )  <->  ( G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) ) ) )
46 df-ring 15175 . . 3  |-  Ring  =  { r  e.  Grp  |  ( (mulGrp `  r
)  e.  Mnd  /\  [. ( Base `  r
)  /  b ]. [. ( +g  `  r
)  /  p ]. [. ( .r `  r
)  /  t ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) ) }
4745, 46elrab2 2862 . 2  |-  ( R  e.  Ring  <->  ( R  e. 
Grp  /\  ( G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) ) ) )
48 3anass 943 . 2  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .x.  (
y  .+  z )
)  =  ( ( x  .x.  y ) 
.+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) )  <->  ( R  e. 
Grp  /\  ( G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) ) ) )
4947, 48bitr4i 245 1  |-  ( R  e.  Ring  <->  ( R  e. 
Grp  /\  G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x 
.x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   _Vcvv 2727   [.wsbc 2921   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   Basecbs 13022   +g cplusg 13082   .rcmulr 13083   Mndcmnd 14196   Grpcgrp 14197  mulGrpcmgp 15160   Ringcrg 15172
This theorem is referenced by:  rnggrp  15181  rngmgp  15182  rngi  15188  rngpropd  15207  isrngd  15210  prdsrngd  15230
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-xp 4594  df-cnv 4596  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fv 4608  df-ov 5713  df-ring 15175
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