Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isotr Unicode version

Theorem isotr 5685
 Description: Composition (transitive) law for isomorphism. Proposition 6.30(3) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
isotr

Proof of Theorem isotr
StepHypRef Expression
1 simpl 445 . . . 4
2 simpl 445 . . . 4
3 f1oco 5353 . . . 4
41, 2, 3syl2anr 466 . . 3
5 f1of 5329 . . . . . . . . . . . 12
65ad2antrr 709 . . . . . . . . . . 11
7 simprl 735 . . . . . . . . . . 11
8 ffvelrn 5515 . . . . . . . . . . 11
96, 7, 8syl2anc 645 . . . . . . . . . 10
10 simprr 736 . . . . . . . . . . 11
11 ffvelrn 5515 . . . . . . . . . . 11
126, 10, 11syl2anc 645 . . . . . . . . . 10
13 simplrr 740 . . . . . . . . . 10
14 breq1 3923 . . . . . . . . . . . 12
15 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . 13
1615breq1d 3930 . . . . . . . . . . . 12
1714, 16bibi12d 314 . . . . . . . . . . 11
18 breq2 3924 . . . . . . . . . . . 12
19 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . 13
2019breq2d 3932 . . . . . . . . . . . 12
2118, 20bibi12d 314 . . . . . . . . . . 11
2217, 21rcla42va 2828 . . . . . . . . . 10
239, 12, 13, 22syl21anc 1186 . . . . . . . . 9
24 fvco3 5448 . . . . . . . . . . 11
256, 7, 24syl2anc 645 . . . . . . . . . 10
26 fvco3 5448 . . . . . . . . . . 11
276, 10, 26syl2anc 645 . . . . . . . . . 10
2825, 27breq12d 3933 . . . . . . . . 9
2923, 28bitr4d 249 . . . . . . . 8
3029bibi2d 311 . . . . . . 7
31302ralbidva 2545 . . . . . 6
3231biimpd 200 . . . . 5
3332impancom 429 . . . 4
3433imp 420 . . 3
354, 34jca 520 . 2
36 df-isom 4609 . . 3
37 df-isom 4609 . . 3
3836, 37anbi12i 681 . 2
39 df-isom 4609 . 2
4035, 38, 393imtr4i 259 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   wa 360   wceq 1619   wcel 1621  wral 2509   class class class wbr 3920   ccom 4584  wf 4588  wf1o 4591  cfv 4592   wiso 4593 This theorem is referenced by:  weisoeq  5705  oieu  7138  fz1isolem  11276  erdsze2lem2  22906 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609
 Copyright terms: Public domain W3C validator