MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscn2 Unicode version

Theorem iscn2 16800
Description: The predicate " F is a continuous function from topology  J to topology  K." Definition of continuous function in [Munkres] p. 102. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iscn.1  |-  X  = 
U. J
iscn.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
iscn2  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
Distinct variable groups:    y, J    y, K    y, X    y, F    y, Y

Proof of Theorem iscn2
StepHypRef Expression
1 df-cn 16789 . . 3  |-  Cn  =  ( j  e.  Top ,  k  e.  Top  |->  { f  e.  ( U. k  ^m  U. j )  |  A. y  e.  k  ( `' f
" y )  e.  j } )
21elmpt2cl 5913 . 2  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top ) )
3 iscn.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
43toptopon 16503 . . 3  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5 iscn.2 . . . 4  |-  Y  = 
U. K
65toptopon 16503 . . 3  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
7 iscn 16797 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
84, 6, 7syl2anb 467 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J
) ) )
92, 8biadan2 626 1  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   {crab 2512   U.cuni 3727   `'ccnv 4579   "cima 4583   -->wf 4588   ` cfv 4592  (class class class)co 5710    ^m cmap 6658   Topctop 16463  TopOnctopon 16464    Cn ccn 16786
This theorem is referenced by:  cntop1  16802  cntop2  16803  cnf  16808  cnima  16826  cnco  16827  ptpjcn  17137  intopcoaconb  24706  intopcoaconc  24707  intcont  24709  prcnt  24717
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-map 6660  df-top 16468  df-topon 16471  df-cn 16789
  Copyright terms: Public domain W3C validator