Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isblo3i Unicode version

Theorem isblo3i 21209
 Description: The predicate "is a bounded linear operator." Definition 2.7-1 of [Kreyszig] p. 91. (Contributed by NM, 11-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isblo3i.1
isblo3i.m CV
isblo3i.n CV
isblo3i.4
isblo3i.5
isblo3i.u
isblo3i.w
Assertion
Ref Expression
isblo3i
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem isblo3i
StepHypRef Expression
1 isblo3i.u . . . 4
2 isblo3i.w . . . 4
3 isblo3i.4 . . . . 5
4 isblo3i.5 . . . . 5
53, 4bloln 21192 . . . 4
61, 2, 5mp3an12 1272 . . 3
7 isblo3i.1 . . . . . 6
8 eqid 2253 . . . . . 6
9 eqid 2253 . . . . . 6
107, 8, 9, 4nmblore 21194 . . . . 5
111, 2, 10mp3an12 1272 . . . 4
12 isblo3i.m . . . . . 6 CV
13 isblo3i.n . . . . . 6 CV
147, 12, 13, 9, 4, 1, 2nmblolbi 21208 . . . . 5
1514ralrimiva 2588 . . . 4
16 oveq1 5717 . . . . . . 7
1716breq2d 3932 . . . . . 6
1817ralbidv 2527 . . . . 5
1918rcla4ev 2821 . . . 4
2011, 15, 19syl2anc 645 . . 3
216, 20jca 520 . 2
22 simp1 960 . . . . 5
237, 8, 3lnof 21163 . . . . . . 7
241, 2, 23mp3an12 1272 . . . . . 6
257, 8, 9nmoxr 21174 . . . . . . . . 9
261, 2, 25mp3an12 1272 . . . . . . . 8
27263ad2ant1 981 . . . . . . 7
28 recn 8707 . . . . . . . . . 10
2928abscld 11795 . . . . . . . . 9
3029rexrd 8761 . . . . . . . 8
31303ad2ant2 982 . . . . . . 7
32 pnfxr 10334 . . . . . . . 8
3332a1i 12 . . . . . . 7
347, 8, 12, 13, 9, 1, 2nmoub3i 21181 . . . . . . 7
35 ltpnf 10342 . . . . . . . . 9
3629, 35syl 17 . . . . . . . 8
37363ad2ant2 982 . . . . . . 7
3827, 31, 33, 34, 37xrlelttrd 10370 . . . . . 6
3924, 38syl3an1 1220 . . . . 5
409, 3, 4isblo 21190 . . . . . 6
411, 2, 40mp2an 656 . . . . 5
4222, 39, 41sylanbrc 648 . . . 4
4342rexlimdv3a 2631 . . 3
4443imp 420 . 2
4521, 44impbii 182 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 178   wa 360   w3a 939   wceq 1619   wcel 1621  wral 2509  wrex 2510   class class class wbr 3920  wf 4588  cfv 4592  (class class class)co 5710  cr 8616   cmul 8622   cpnf 8744  cxr 8746   clt 8747   cle 8748  cabs 11596  cnv 20970  cba 20972  CVcnmcv 20976   clno 21148  cnmoo 21149   cblo 21150 This theorem is referenced by:  blo3i  21210  blocnilem  21212 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-sup 7078  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-rp 10234  df-seq 10925  df-exp 10983  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-grpo 20688  df-gid 20689  df-ginv 20690  df-ablo 20779  df-vc 20932  df-nv 20978  df-va 20981  df-ba 20982  df-sm 20983  df-0v 20984  df-nmcv 20986  df-lno 21152  df-nmoo 21153  df-blo 21154  df-0o 21155
 Copyright terms: Public domain W3C validator