MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isblo3i Unicode version

Theorem isblo3i 21209
Description: The predicate "is a bounded linear operator." Definition 2.7-1 of [Kreyszig] p. 91. (Contributed by NM, 11-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isblo3i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
isblo3i.m  |-  M  =  ( normCV `  U )
isblo3i.n  |-  N  =  ( normCV `  W )
isblo3i.4  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
isblo3i.5  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
isblo3i.u  |-  U  e.  NrmCVec
isblo3i.w  |-  W  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
isblo3i  |-  ( T  e.  B  <->  ( T  e.  L  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( x  x.  ( M `  y
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, L    x, M, y    x, N, y    x, T, y    x, U, y   
x, W, y    x, X, y
Allowed substitution hint:    L( y)

Proof of Theorem isblo3i
StepHypRef Expression
1 isblo3i.u . . . 4  |-  U  e.  NrmCVec
2 isblo3i.w . . . 4  |-  W  e.  NrmCVec
3 isblo3i.4 . . . . 5  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
4 isblo3i.5 . . . . 5  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
53, 4bloln 21192 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  T  e.  L )
61, 2, 5mp3an12 1272 . . 3  |-  ( T  e.  B  ->  T  e.  L )
7 isblo3i.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
8 eqid 2253 . . . . . 6  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
9 eqid 2253 . . . . . 6  |-  ( U
normOp OLD W )  =  ( U normOp OLD W
)
107, 8, 9, 4nmblore 21194 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  (
( U normOp OLD W
) `  T )  e.  RR )
111, 2, 10mp3an12 1272 . . . 4  |-  ( T  e.  B  ->  (
( U normOp OLD W
) `  T )  e.  RR )
12 isblo3i.m . . . . . 6  |-  M  =  ( normCV `  U )
13 isblo3i.n . . . . . 6  |-  N  =  ( normCV `  W )
147, 12, 13, 9, 4, 1, 2nmblolbi 21208 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  B  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  ( T `  y )
)  <_  ( (
( U normOp OLD W
) `  T )  x.  ( M `  y
) ) )
1514ralrimiva 2588 . . . 4  |-  ( T  e.  B  ->  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y
) )  <_  (
( ( U normOp OLD W ) `  T
)  x.  ( M `
 y ) ) )
16 oveq1 5717 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( U
normOp OLD W ) `  T )  ->  (
x  x.  ( M `
 y ) )  =  ( ( ( U normOp OLD W ) `  T )  x.  ( M `  y )
) )
1716breq2d 3932 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( U
normOp OLD W ) `  T )  ->  (
( N `  ( T `  y )
)  <_  ( x  x.  ( M `  y
) )  <->  ( N `  ( T `  y
) )  <_  (
( ( U normOp OLD W ) `  T
)  x.  ( M `
 y ) ) ) )
1817ralbidv 2527 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( U
normOp OLD W ) `  T )  ->  ( A. y  e.  X  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( x  x.  ( M `  y
) )  <->  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y
) )  <_  (
( ( U normOp OLD W ) `  T
)  x.  ( M `
 y ) ) ) )
1918rcla4ev 2821 . . . 4  |-  ( ( ( ( U normOp OLD W ) `  T
)  e.  RR  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( ( ( U normOp OLD W ) `  T )  x.  ( M `  y )
) )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( x  x.  ( M `  y
) ) )
2011, 15, 19syl2anc 645 . . 3  |-  ( T  e.  B  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( x  x.  ( M `  y
) ) )
216, 20jca 520 . 2  |-  ( T  e.  B  ->  ( T  e.  L  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( M `  y )
) ) )
22 simp1 960 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  L  /\  x  e.  RR  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( M `  y )
) )  ->  T  e.  L )
237, 8, 3lnof 21163 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  T : X --> ( BaseSet `  W
) )
241, 2, 23mp3an12 1272 . . . . . 6  |-  ( T  e.  L  ->  T : X --> ( BaseSet `  W
) )
257, 8, 9nmoxr 21174 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X
--> ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( U normOp OLD W ) `  T )  e.  RR* )
261, 2, 25mp3an12 1272 . . . . . . . 8  |-  ( T : X --> ( BaseSet `  W )  ->  (
( U normOp OLD W
) `  T )  e.  RR* )
27263ad2ant1 981 . . . . . . 7  |-  ( ( T : X --> ( BaseSet `  W )  /\  x  e.  RR  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y
) )  <_  (
x  x.  ( M `
 y ) ) )  ->  ( ( U normOp OLD W ) `  T )  e.  RR* )
28 recn 8707 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
2928abscld 11795 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
3029rexrd 8761 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( abs `  x )  e. 
RR* )
31303ad2ant2 982 . . . . . . 7  |-  ( ( T : X --> ( BaseSet `  W )  /\  x  e.  RR  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y
) )  <_  (
x  x.  ( M `
 y ) ) )  ->  ( abs `  x )  e.  RR* )
32 pnfxr 10334 . . . . . . . 8  |-  +oo  e.  RR*
3332a1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ( T : X --> ( BaseSet `  W )  /\  x  e.  RR  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y
) )  <_  (
x  x.  ( M `
 y ) ) )  ->  +oo  e.  RR* )
347, 8, 12, 13, 9, 1, 2nmoub3i 21181 . . . . . . 7  |-  ( ( T : X --> ( BaseSet `  W )  /\  x  e.  RR  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y
) )  <_  (
x  x.  ( M `
 y ) ) )  ->  ( ( U normOp OLD W ) `  T )  <_  ( abs `  x ) )
35 ltpnf 10342 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  x )  e.  RR  ->  ( abs `  x )  <  +oo )
3629, 35syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( abs `  x )  <  +oo )
37363ad2ant2 982 . . . . . . 7  |-  ( ( T : X --> ( BaseSet `  W )  /\  x  e.  RR  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y
) )  <_  (
x  x.  ( M `
 y ) ) )  ->  ( abs `  x )  <  +oo )
3827, 31, 33, 34, 37xrlelttrd 10370 . . . . . 6  |-  ( ( T : X --> ( BaseSet `  W )  /\  x  e.  RR  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y
) )  <_  (
x  x.  ( M `
 y ) ) )  ->  ( ( U normOp OLD W ) `  T )  <  +oo )
3924, 38syl3an1 1220 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  L  /\  x  e.  RR  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( M `  y )
) )  ->  (
( U normOp OLD W
) `  T )  <  +oo )
409, 3, 4isblo 21190 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( T  e.  B  <->  ( T  e.  L  /\  (
( U normOp OLD W
) `  T )  <  +oo ) ) )
411, 2, 40mp2an 656 . . . . 5  |-  ( T  e.  B  <->  ( T  e.  L  /\  (
( U normOp OLD W
) `  T )  <  +oo ) )
4222, 39, 41sylanbrc 648 . . . 4  |-  ( ( T  e.  L  /\  x  e.  RR  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( M `  y )
) )  ->  T  e.  B )
4342rexlimdv3a 2631 . . 3  |-  ( T  e.  L  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  X  ( N `  ( T `
 y ) )  <_  ( x  x.  ( M `  y
) )  ->  T  e.  B ) )
4443imp 420 . 2  |-  ( ( T  e.  L  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( M `  y )
) )  ->  T  e.  B )
4521, 44impbii 182 1  |-  ( T  e.  B  <->  ( T  e.  L  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  X  ( N `  ( T `  y ) )  <_  ( x  x.  ( M `  y
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   E.wrex 2510   class class class wbr 3920   -->wf 4588   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   RRcr 8616    x. cmul 8622    +oocpnf 8744   RR*cxr 8746    < clt 8747    <_ cle 8748   abscabs 11596   NrmCVeccnv 20970   BaseSetcba 20972   normCVcnmcv 20976    LnOp clno 21148   normOp OLDcnmoo 21149    BLnOp cblo 21150
This theorem is referenced by:  blo3i  21210  blocnilem  21212
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-sup 7078  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-rp 10234  df-seq 10925  df-exp 10983  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-grpo 20688  df-gid 20689  df-ginv 20690  df-ablo 20779  df-vc 20932  df-nv 20978  df-va 20981  df-ba 20982  df-sm 20983  df-0v 20984  df-nmcv 20986  df-lno 21152  df-nmoo 21153  df-blo 21154  df-0o 21155
  Copyright terms: Public domain W3C validator